Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2014 r.

Poziom podstawowy

  1. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.

  2. Właściciel hurtowni sprzedał $\frac{1}{3}$ partii bananów po założonej przez siebie cenie. Ponieważ pozostałe owoce zaczęły zbyt szybko dojrzewać, więc obniżył ich cenę o $30\%$. Dzięki temu sprzedał $60\%$ aktualnego stanu. Resztę bananów udało mu się sprzedać dopiero, gdy ustalił ich cenę na poziomie $\frac{1}{5}$ ceny początkowej. Ile procent zaplanowanego zysku stanowi kwota uzyskana ze sprzedaży? W jakiej cenie (w porównaniu z założoną) powinien sprzedać pierwszą partię towaru, żeby jednokrotna obniżka ich ceny o $25\%$ pozwoliła na sprzedanie wszystkich owoców i uzyskanie zaplanowanego początkowo zysku?

  3. Narysuj wykres funkcji $\;f(x)=\displaystyle{|x-1|+x\over |x+1|}$. Następnie rozwiąż nierówność $f(x)\geq 1\;$ i, korzystając z wykresu, podaj jej interpretację graficzną.

  4. Wykresem funkcji $f(x)=x^2+bx+c$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $(3,-1)$. Podaj wzór funkcji, której wykres jest obrazem symetrycznym tej paraboli:
    a) względem prostej $x=1$,
    b) względem punktu $(1,0)$.
    Sporządź staranne wykresy wszystkich funkcji.

  5. Oblicz $$\;\displaystyle{\sqrt{2\sin^3{\alpha}+3\sin{\alpha}\cos^2{\alpha}}\over\sin{\alpha}\sqrt{\cos{\alpha}}+\cos{\alpha}\sqrt{\sin{\alpha}}},\;$$ wiedząc, że $\tg{\alpha}=\displaystyle{1\over 2}.$ Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

  6. Z miejscowości $A$ i $B$ odległych o 90 kilometrów wyruszyli dwaj rowerzyści. Adam wyjechał z $A$ o godzinę wcześniej niż Bartek z $B.$ Od momentu spotkania Adam jechał do $B$ 90 minut, a Bartek dotarł do $A$ po 4 godzinach. Z jaką prędkością jechał każdy z rowerzystów?

Poziom rozszerzony

  1. Wykaż, że różnica czwartych potęg dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 16.

  2. 31 grudnia Kowalski zaciągnął pożyczkę 4000 złotych oprocentowaną w wysokości $16\%$ w skali roku. Zobowiązał się spłacić ją w ciągu roku w czterech równych ratach płatnych 31 marca, 30 czerwca, 30 września i 31 grudnia. Oprocentowanie pożyczki liczy się od 1 stycznia, a odsetki od kredytu naliczane są w terminach płatności rat. Oblicz wysokość tych rat w zaokrągleniu do pełnych groszy.

  3. Narysuj wykres funkcji $$f(x)=\frac{|x+1|+x}{|x-1|}$$ i wyznacz zbiór jej wartości. Następnie rozwiąż nierówność $f(x-1)<x$ i podaj jej interpretację graficzną.

  4. Dla jakich wartości parametru rzeczywistego $m$ równanie kwadratowe $2x^2-m\,x+m+2=0$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, których suma odwrotności jest nieujemna? Sporządź wykres funkcji $ f(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}.$

  5. Odcinek o końcach $\;A\left(\displaystyle{5\over 2},\displaystyle{\sqrt{3}\over 2}\right),\;\;B\left(\displaystyle{5\over2},\displaystyle{3\sqrt{3}\over2}\right)\;$ jest bokiem wielokąta foremnego wpisanego w okrąg styczny do osi $Ox$. Wyznacz równanie tego okręgu i współrzędne pozostałych wierzchołków wielokąta. Ile rozwiązań ma to zadanie? Sporządź rysunek.

  6. Z wierzchołków podstawy $AB$ trójkąta równobocznego o boku $a$ rozpoczęły ruch dwa punkty. Poruszają się one wzdłuż boków $AC$ i $BC$ z prędkościami odpowiednio $v_1$ i $v_2$. Po jakim czasie odległość między nimi będzie równa wysokości trójkąta?