Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2014 r.

Poziom podstawowy

  1. Wykaż, że jeżeli $a\geq 0, b\geq 0\,$ i $\,\sqrt{a^2+b}=\sqrt{b^2+a}\,,\,$ to $\,a=b\,$ lub $\,a+b=1.$

  2. Trójkąt równoramienny jest wpisany w okrąg o promieniu $R\,,\,$ a promienie poprowadzone z wierzchołków podstawy tworzą kąt $60^{\circ}$. Oblicz pole trójkąta i wyznacz jego kąty.

  3. Umowa określa wynagrodzenie miesięczne pana Kowalskiego na kwotę 4000 zł. Składka na ubezpieczenie społeczne wynosi $18,7\%$ tej kwoty, a składka na ubezpieczenie zdrowotne - $7,75\%$ kwoty pozostałej po odliczeniu składki na ubezpieczenie społeczne. W celu obliczenia podatku należy od $80\%$ wyjściowej kwoty umowy odjąć składkę na ubezpieczenie społeczne i wyznaczyć $19\%$ pozostałej sumy. Podatek jest różnicą tak otrzymanej kwoty i składki na ubezpieczenie zdrowotne. Ile złotych miesięcznie otrzymuje pan Kowalski? Jakie powinno być jego wynagrodzenie, by co miesiąc dostawał przynajmniej 3000 zł?

  4. Liczba $$\,p=\displaystyle{(\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}\cdot\log_{(\sqrt{2}-1)}{(3-2\sqrt{2})}\over 3^{-\frac{3}{4}}\cdot\log_{\sqrt{3}}{(3\sqrt{3})}}\;$$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+a\,x^2+b\,x+c\,.$ Wyznacz $a,b,c$ i pozostałe pierwiastki tego wielomianu, wiedząc, że średnia arytmetyczna wszystkich trzech pierwiastków jest równa $\,-\frac{1}{3}\,,\,$ a ich średnia geometryczna wynosi $\,-2\,.$

  5. Sprowadź wyrażenie $$\left[a^{-1}+b^{-1}+2\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\left(a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)\right]\cdot\frac{ab-a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$$ do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla $a=\sqrt{2}-1,\;b=\sqrt{2}+1\,.$ Dla jakich wartości $a$ i $b$ ma ono sens?

  6. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3} x^2-\frac{8}{3} x+2, & \text{gdy} & |2x-5|\leq 3,\cr 4-2|x-3|, & \text{gdy} & |2x-5|>3 \end{cases} $$ i na jego podstawie wyznacz:
    a) zbiór wartości funkcji $f(x)$,
    b) najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale $[0,5]$,
    c) przedziały, na których funkcja $f$ jest malejąca.

Poziom rozszerzony

  1. Wykaż, że jeżeli $\,a>0,\, b>0\;$ i $\;\sqrt[3]{a^3+b^3}=\sqrt{a^2+b^2}\,,\,$ to $\;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$.
  2. Przekątne czworokąta wpisanego w okrąg przecinają się pod kątem $45^{\circ}\,.$ Punkt przecięcia dzieli jedną z nich na odcinki o długościach $8$ i $6\,,\,$ a drugą - na odcinki, których długości pozostają w stosunku $2:3$. Oblicz boki i pole czworokąta.

  3. W hurtowni znajduje się towar, którego $a\,\%$ sprzedano z zyskiem $p\,\%$, a $b\,\%$ pozostałej części sprzedano z zyskiem $q\,\%$. Z jakim zyskiem należy sprzedać resztę towaru, by całkowity zysk wyniósł $r\,\%$?

  4. Porównaj liczby $a^b$ i $b^a,\,$ gdzie $a=\frac{2}{3}\log_{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{6}},\; b=\left(\sqrt{3}^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1},\;$ nie używając kalkulatora.
  5. Liczba $$ p=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\,,\, $$ jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu $W(x)=x^3+a\,x^2+b\,x+c\,,\;$ a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian $x-2p,$ równa jest $3$. Wyznacz współczynniki $a,b,c$ i rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
    WSKAZÓWKA: Oblicz $p^3$.

  6. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)= \begin{cases} \frac{x-2}{x},& \text{gdy} & |x-2|\leq 1,\cr \frac{x}{x-2}, & \text{gdy} & |x-2|> 1 \end{cases} $$ i na jego podstawie wyznacz:
    a) przedziały, na których funkcja $f$ jest malejąca,
    b) zbiór wartości funkcji $f(x)$,
    c) zbiór rozwiązań nierówności $|f(x)|\leq\frac{1}{2}$.