W przedziale $[\pi,2\pi]$ rozwiąż równanie
$$\frac{\sin 3x}{\cos 6x}=1.$$
Dane są trzy wektory $\vec{a}=(1,1)$, $\vec{b}=(2,-1)$, $\vec{c}=(5,2)$. Dobierz takie liczby $p$, $q$, aby z wektorów
$p\vec{a}$, $q\vec{b}$, $\vec{c}$ można było zbudować trójkąt.
W przedziale $[0,\pi]$ narysuj wykres funkcji
$$f(x)=\frac{1}{|\tg x + \ctg x|}+\sin 2x,$$
i rozwiąż nierówność $f(x)<\frac{3}{4}$.
Na okręgu $x^2-2x+y^2+4y-4=0$ wyznacz punkt, którego odległość od prostej $x-3y+6=0$ jest najmniejsza.
Przekątna rombu o polu 9 zawarta jest w prostej $x-2y+3=0$, a jednym z jego wierzchołków jest punkt $A(2,-2)$.
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.
Poziom rozszerzony
Resztą z dzielenia wielomianu $w(x)=x^4+p x^3- 3 x^2+qx - 14$ przez $x^2-x-2$ jest
$4x-28$. Wyznacz współczynniki $p,q$ i rozwiąż nierówność $w(x)\geq 0$.
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji
$$f(x) = \left(\tg x + \ctg x \right)^2,$$
oraz rozwiąż nierówność $f(x)\leq f(2x)$.
Znajdź kąt między wektorami $\vec{a}$ i $\vec{b}$ wiedząc, że wektor $5\vec{a}-4\vec{b}$ jest prostopadły
do wektora $2\vec{a}+4\vec{b}$, a wektor $\vec{a}-5\vec{b}$ jest prostopadły do wektora $6\vec{a}-2\vec{b}$.
Z wierzchołka $O$ paraboli $y^2=2x$ poprowadzono dwie proste wzajemnie prostopadłe i przecinające parabolę w punktach $P$ i $Q$. Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny utworzony przez środki ciężkości trójkątów $OPQ$. Sporządź rysunek.
W trójkącie o wierzchołkach $A(-6,-7)$, $B(8,-9)$, $C(0,10)$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $S$ jest punktem przecięcia
środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ oraz wysokości opuszczonej na bok $AB$. Oblicz pole trójkąta $CSP$ oraz znajdź równanie okręgu opisanego na nim.