Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2014 r.

Poziom podstawowy

  1. Rozwiąż nierówność $$x^5+x^4-8x^2+16 \geq 8x^3- 16 x.$$
  2. W przedziale $[\pi,2\pi]$ rozwiąż równanie $$\frac{\sin 3x}{\cos 6x}=1.$$
  3. Dane są trzy wektory $\vec{a}=(1,1)$, $\vec{b}=(2,-1)$, $\vec{c}=(5,2)$. Dobierz takie liczby $p$, $q$, aby z wektorów $p\vec{a}$, $q\vec{b}$, $\vec{c}$ można było zbudować trójkąt.
  4. W przedziale $[0,\pi]$ narysuj wykres funkcji $$f(x)=\frac{1}{|\tg x + \ctg x|}+\sin 2x,$$ i rozwiąż nierówność $f(x)<\frac{3}{4}$.
  5. Na okręgu $x^2-2x+y^2+4y-4=0$ wyznacz punkt, którego odległość od prostej $x-3y+6=0$ jest najmniejsza.
  6. Przekątna rombu o polu 9 zawarta jest w prostej $x-2y+3=0$, a jednym z jego wierzchołków jest punkt $A(2,-2)$. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Poziom rozszerzony

  1. Resztą z dzielenia wielomianu $w(x)=x^4+p x^3- 3 x^2+qx - 14$ przez $x^2-x-2$ jest $4x-28$. Wyznacz współczynniki $p,q$ i rozwiąż nierówność $w(x)\geq 0$.
  2. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $$f(x) = \left(\tg x + \ctg x \right)^2,$$ oraz rozwiąż nierówność $f(x)\leq f(2x)$.
  3. Rozwiąż równanie $$\cos x + \cos 2x + 2 \cos 3x + \cos 4x + \cos 5x = 0.$$
  4. Znajdź kąt między wektorami $\vec{a}$ i $\vec{b}$ wiedząc, że wektor $5\vec{a}-4\vec{b}$ jest prostopadły do wektora $2\vec{a}+4\vec{b}$, a wektor $\vec{a}-5\vec{b}$ jest prostopadły do wektora $6\vec{a}-2\vec{b}$.
  5. Z wierzchołka $O$ paraboli $y^2=2x$ poprowadzono dwie proste wzajemnie prostopadłe i przecinające parabolę w punktach $P$ i $Q$. Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny utworzony przez środki ciężkości trójkątów $OPQ$. Sporządź rysunek.
  6. W trójkącie o wierzchołkach $A(-6,-7)$, $B(8,-9)$, $C(0,10)$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $S$ jest punktem przecięcia środkowej poprowadzonej z wierzchołka $A$ oraz wysokości opuszczonej na bok $AB$. Oblicz pole trójkąta $CSP$ oraz znajdź równanie okręgu opisanego na nim.