Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2014 r.

Poziom podstawowy

  1. Dla jakich kątów $\alpha\in \left\langle 0, 2\pi\right\rangle$ równanie $2x^2 - 2(2\cos{\alpha}-1)x+ 2\cos^2{\alpha}-5\cos{\alpha}+2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
  2. Dane są punkty $A(-2,0), B(2,4)$ oraz $C(1,5)$. Oblicz pole trapezu $ABCD$, wiedząc, że punkt $D$ jest jednakowo odległy od punktów $A$ i $B$.

  3. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę $30^{\circ}$. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

  4. Płaszczyzna przechodząca przez środek dolnej podstawy walca jest nachylona do podstawy pod kątem $\alpha$ i przecina górną podstawę walca wzdłuż cięciwy długości $a$. Cięciwa ta odcina łuk, na którym oparty jest kąt środkowy o mierze $120^{\circ}$. Oblicz objętość walca.

  5. Niech $x_1$ i $x_2$ będą pierwiastkami wielomianu $p(x)=x^2-x+a$, a $x_3$ i $x_4$ -- pierwiastkami wielomianu $q(x)=x^2-4x+b$. Dla jakich $a$ i $b$ liczby $x_1, x_2, x_3, x_4$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

  6. Na dwóch zewnętrznie stycznych kulach opisano stożek tak, że środki tych kul leżą na wysokości stożka. Promień mniejszej kuli jest równy $r,$ a stosunek objętości kul wynosi 8. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Poziom rozszerzony

  1. Dane są proste $y=4x$ i $y=x-2$ oraz punkt $M=(1,2)$. Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $B$ leżących odpowiednio na danych prostych takich, że punkty $A,B,M$ są współliniowe oraz $\frac{\left|AM\right|}{\left|BM\right|}=\frac{2}{3}$.
  2. W równoległoboku o kącie ostrym $60^{\circ}$ stosunek kwadratów długości przekątnych wynosi 1:3. Oblicz stosunek długości dwóch sąsiednich boków.
  3. Niech $a,b,c,d$ będą kolejnymi liczbami naturalnymi. Pokaż, że wielomian $w(x)=ax^3-bx^2-cx+d$ ma trzy pierwiastki rzeczywiste, wśród których co najmniej jeden jest liczbą całkowitą. Dla jakich parametrów $a,b,c,d$ suma tych pierwiastków jest największa?
  4. Dla jakich kątów $\alpha\in \left\langle 0, 2\pi\right\rangle$ spełniona jest nierówność $$2^{\sin^2{x}}+\sqrt[4]{2}\cdot2^{\cos^2{x}}\leq \sqrt{2}+\sqrt[4]{8}\,?$$

  5. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$ stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości wynosi 2:3. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i prostopadłą do przeciwległej ściany bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

  6. Wierzchołek stożka jest środkiem kuli a brzeg podstawy stożka zawiera się w powierzchni kuli. Pole powierzchni całkowitej stożka stanowi $\frac{1}{4}$ pola powierzchni kuli. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.