Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — luty 2015 r.

Poziom podstawowy

1. Wyznacz dziedzinę funkcji $$f(x)=\log_{4-x^2}(2^x+2^{1-x}-3).$$
2. W przedziale $[0,2\pi]$ rozwiąż nierówność $$ \cos^2 2x+\sin^2 x \leq \frac{1}{2}.$$
3. Obwód trójkąta równoramiennego jest równy $8$. Jaka powinna być długość boków tego trójkąta, by objętość bryły powstałej z jego obrotu dokoła podstawy była największa?
4. Rozwiąż równanie $$ \sqrt{1-2\cdot 3^x + 9^x} = 3^{2x-1} - 7 \cdot 3^{x-1} + 2.$$
5. Punkt $B(1,\,1)$ jest wierzchołkiem kąta prostego w trójkącie prostokątnym o polu $2$, wpisanym w okrąg $x^2+y^2+2x-2y-2=0$. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta. Rozwiązanie zilustruj starannym rysunkiem.
6. Sporządź staranny wykres funkcji $$ f(x)=\begin{cases} \begin{array}{lcl} \frac{x}{x-2} & \mbox{dla} & |2x-5|\geq 3, \cr -x^2 + 6x - 6 & \mbox{dla} & |2x-5| < 3, \end{array} \end{cases} $$ i na jego podstawie wyznacz zbiór wartości tej funkcji. Rozwiąż nierówność $f^2(x) \leq 1$ i zaznacz zbiór jej rozwiązań na osi $0x$.

Poziom rozszerzony

1. Narysuj staranny wykres funkcji $$ f(x)=\left|2^{|x-1|} -4 \right|-2 $$ i opisz dokładnie sposób jego konstrukcji. Korzystając z rysunku, określ ilość rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.
2. Rozwiąż równanie $$ 2 \cos 2x + 1 = \sqrt{2\cos^2 2x - 6\sin^2 x + 5}. $$
3. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $3$. Jakie powinny być długości przyprostokątnych, aby objętość bryły powstałej z jego obrotu dokoła jednej z nich była największa?
4. Rozwiąż nierówność $$ 2^x \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} - \left(2-\sqrt{3}\right)^{-x} \geq 0.$$

5. Znajdź równania prostych stycznych do okręgu $x^2+y^2=25$ przechodzących przez punkt $S(6,8)$. Wyznacz współrzędne punktów styczności $A,\,B$ i oblicz pole obszaru ograniczonego odcinkami $AS,\,BS$ oraz większym łukiem $AB$. Wykonaj staranny rysunek.

6. Zbadaj przebieg zmienności i narysuj staranny wykres funkcji $$ f(x) = \frac{3x-2}{(x-1)^2 }.$$