Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2015 r.

Poziom podstawowy

  1. Współczynniki $a,b$ trójmianu kwadratowego $x^2-2ax+b$ oraz pierwiastki tego trójmianu, napisane w odpowiedniej kolejności, są czterema początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Dla $a=2$ obliczyć różnicę ciągu, współczynnik $b$ oraz pierwiastki trójmianu.

  2. Kwadrat o boku $a$ zgięto wzdłuż jednej z przekątnych tak, aby odległość pozostałych wierzchołków była równa połowie długości przekątnej kwadratu. W tak powstały czworościan wpisano dwie identyczne, wzajemnie styczne kule. Obliczyć promień tych kul.

  3. Trzy czerwone, trzy żółte i jedną zieloną kredkę włożono w przypadkowy sposób do pudełka. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadne dwie kredki tego samego koloru nie będą leżały obok siebie.

  4. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $\displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{\log_2 x}{1-\log_2 x}}.$ Uzasadnić, że
    $f(x)$ jest rosnąca. Korzystając z tego faktu, określić zbiór wartości funkcji $f(x)$.

  5. W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano prostopadłościan prosty o podstawie kwadratowej w ten sposób, że wierzchołki jego górnej podstawy leżą w środkach ciężkości ścian bocznych ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu stanowi trzecią część pola powierzchni całkowitej ostrosłupa. Obliczyć tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do podstawy.

  6. Rozwiązać układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{l} x^2+y^2=2 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2 \end{array} \end{cases} $$
    Podać interpretację geometryczną tego układu i sporządzić rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. Na każdym z trzech drutów linii elektrycznej wysokiego napięcia siedzi po pięć wróbli. W pewnej chwili odfrunęło przypadkowych sześć wróbli. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na co najmniej dwóch drutach pozostała taka sama liczba ptaków.

  2. Dolna część namiotu ma kształt walca o wysokości $h=2\,$m, a górna jest stożkiem o tworzącej $l=\sqrt{15}\,$m i tym samym promieniu, co część dolna. Wyznaczyć pozostałe parametry namiotu tak, aby jego objętość była największa. Sporządzić rysunek.

  3. Z pudełka zawierającego 10 klocków ponumerowanych cyframi od 0 do 9 wylosowano dwa klocki i ustawiono obok siebie w przypadkowej kolejności, tworząc w ten sposób liczbę $k$ (ustawienie 03 rozumiemy jako liczbę 3). Następnie wylosowano trzeci klocek z pozostałych i ustawiono go za tamtymi, gdy suma cyfr liczby $k$ była mniejsza niż 10, lub przed tamtymi, w przeciwnym wypadku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba jest większa od 500.

    Wskazówka: Użyć wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

  4. Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnić tożsamość $$\sin^2\alpha+\sin^23\alpha+...+\sin^2(2n-1)\alpha=\frac{n}{2}-\frac{\sin 4n\alpha}{4\sin2\alpha},\;\;n\geqslant 1,$$ gdzie $\displaystyle \alpha\neq k\frac{\pi}{2},$ $\;k$ całkowite.

  5. Znaleźć równanie stycznej $l$ do wykresu funkcji $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+x^2$ w punkcie, w którym przecina on oś $Ox$. Wyznaczyć wszystkie styczne, które są równoległe do prostej $l$. Znaleźć punkty wspólne tych stycznych z wykresem funkcji. Rozwiązanie zilustrować odpowiednim rysunkiem.

  6. Krawędź podstawy graniastosłupa trójkątnego prawidłowego ma długość $a$. Oznaczmy przez $\,2\alpha\;$ kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka. Graniastosłup przecięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy. Obliczyć tangens kąta $\alpha$, dla którego w większą część graniastosłupa można wpisać kulę. Dla znalezionego kąta $\alpha$, obliczyć promień kuli wpisanej w mniejszą część graniastosłupa.