Współczynniki $a,b$ trójmianu kwadratowego $x^2-2ax+b$ oraz pierwiastki tego trójmianu, napisane w odpowiedniej kolejności, są czterema początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Dla $a=2$ obliczyć różnicę ciągu, współczynnik $b$ oraz pierwiastki trójmianu.
Kwadrat o boku $a$ zgięto wzdłuż jednej z przekątnych tak, aby odległość pozostałych wierzchołków była równa połowie długości przekątnej kwadratu. W tak powstały czworościan wpisano dwie identyczne, wzajemnie styczne kule. Obliczyć promień tych kul.
Trzy czerwone, trzy żółte i jedną zieloną kredkę włożono w przypadkowy sposób do pudełka. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żadne dwie kredki tego samego koloru nie będą leżały obok siebie.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji $\displaystyle f(x)= \sqrt{\frac{\log_2 x}{1-\log_2 x}}.$ Uzasadnić, że
$f(x)$ jest rosnąca. Korzystając z tego faktu, określić zbiór wartości funkcji $f(x)$.
W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano prostopadłościan prosty o podstawie kwadratowej w ten sposób, że wierzchołki jego górnej podstawy leżą w środkach ciężkości ścian bocznych ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu stanowi trzecią część pola powierzchni całkowitej ostrosłupa. Obliczyć tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do podstawy.
Rozwiązać układ równań
$$\begin{cases}
\begin{array}{l}
x^2+y^2=2 \cr
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2
\end{array}
\end{cases}
$$
Podać interpretację geometryczną tego układu i sporządzić rysunek.
Na każdym z trzech drutów linii elektrycznej wysokiego napięcia siedzi po pięć wróbli. W pewnej chwili odfrunęło przypadkowych sześć wróbli. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na co najmniej dwóch drutach pozostała taka sama liczba ptaków.
Dolna część namiotu ma kształt walca o wysokości $h=2\,$m, a górna jest stożkiem o tworzącej $l=\sqrt{15}\,$m i tym samym promieniu, co część dolna. Wyznaczyć pozostałe parametry namiotu tak, aby jego objętość była największa. Sporządzić rysunek.
Z pudełka zawierającego 10 klocków ponumerowanych cyframi od 0 do 9 wylosowano dwa klocki i ustawiono obok siebie w przypadkowej kolejności, tworząc w ten sposób liczbę $k$ (ustawienie 03 rozumiemy jako liczbę 3). Następnie wylosowano trzeci klocek z pozostałych i ustawiono go za tamtymi, gdy suma cyfr liczby $k$ była mniejsza niż 10, lub przed tamtymi, w przeciwnym wypadku. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba jest większa od 500.
Wskazówka: Użyć wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnić tożsamość $$\sin^2\alpha+\sin^23\alpha+...+\sin^2(2n-1)\alpha=\frac{n}{2}-\frac{\sin 4n\alpha}{4\sin2\alpha},\;\;n\geqslant 1,$$ gdzie $\displaystyle \alpha\neq k\frac{\pi}{2},$ $\;k$ całkowite.
Znaleźć równanie stycznej $l$ do wykresu funkcji $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}+x^2$ w punkcie, w którym przecina on oś $Ox$. Wyznaczyć wszystkie styczne, które są równoległe do prostej $l$. Znaleźć punkty wspólne tych stycznych z wykresem funkcji. Rozwiązanie zilustrować odpowiednim rysunkiem.
Krawędź podstawy graniastosłupa trójkątnego prawidłowego ma długość $a$. Oznaczmy przez $\,2\alpha\;$ kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka. Graniastosłup przecięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy. Obliczyć tangens kąta $\alpha$, dla którego w większą część graniastosłupa można wpisać kulę. Dla znalezionego kąta $\alpha$, obliczyć promień kuli wpisanej w mniejszą część graniastosłupa.