Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2015 r.

Poziom podstawowy

  1. Dla pewnego kąta ostrego $\alpha$ zachodzi równość $\cos\alpha=2\sin\alpha$. Wyznaczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych tego kąta.

  2. Po modernizacji linii kolejowej łączącej Wałbrzych z Wrocławiem średnia prędkość pociągu wzrosła o 14 km/h, a czas przejazdu 70 km skrócił się o 25 minut. Z jaką średnią prędkością jedzie teraz pociąg na tej linii?

  3. Wyznaczyć dziedzinę oraz najmniejszą wartość funkcji $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{10+8x^2-x^4}}.$$

  4. Wyznaczyć wzory tych funkcji kwadratowych $f(x)=ax^2+bx+c$, dla których najmniejszą wartością jest $-\frac{9}{2}$, $f(0)=-4$, a jednym z miejsc zerowych jest $x=4$. Narysować wykresy tych funkcji.

  5. Uprościć wyrażenie (dla tych $a,b$, dla których ma ono sens) $$\left(\displaystyle{ \frac{1}{b}+\frac{2}{\sqrt[\leftroot{4}6]{a^2 b^3}} +\frac{1}{\sqrt[\leftroot{4}3]{a^2}}}\right)\cdot \left(\displaystyle{\sqrt[\leftroot{4}3]{a^2}\left(\sqrt[\leftroot{4}3]{a}+\sqrt{b}\right)-\frac{a\left(2\sqrt{b} + \sqrt[\leftroot{4}3]{a}\right)}{\sqrt[\leftroot{4}3]{a}+\sqrt{b}}}\right).$$ Następnie obliczyć jego wartość dla $a=5\sqrt{5}$ i $b=14-6\sqrt{5}$.

  6. Dane są zbiory $A=\left\lbrace(x,y):\: 4|x|-4 \leq 2|y| \leq |x|+2 \right\rbrace$ oraz $B=\left\lbrace(x,y):\: |x|+|y| \leq \frac{5}{2}\right\rbrace$. Obliczyć pole zbioru $A\cap B$. Wykonać staranny rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. Wiedząc, że dla wypukłego kąta $\alpha$ zachodzi równość $\cos\alpha - \sin\alpha =\frac{1}{3}$, wyznaczyć wszystkie funkcje trygonometryczne tego kąta.

  2. Dla jakich wartości parametru $p$ suma kwadratów pierwiastków trójmianu $px^2-2px+2$ jest większa od 3?

  3. Ciężarówka o długości $16$m jedzie ze stałą prędkością $70$km/h. Wyprzedza ją samochód osobowy o długości $4$m jadąc ze stałą prędkością $100$km/h. Manewr wyprzedzania rozpoczyna od zjazdu na lewy pas dokładnie $20$m za ciężarówką, a kończy, powracając na prawy pas jezdni dokładnie $20$m przed nią (odstęp między pojazdami wynosi w tych momentach $20$m). Z naprzeciwka nadjeżdża inny samochód osobowy z prędkością $105$km/h. Jaka powinna być odległość między oboma samochodami osobowymi na początku manewru wyprzedzania, żeby zakończył się on bezpiecznie (bez zmiany prędkości obu samochodów)?

  4. Narysować wykres funkcji $$f(x) = \begin{cases} \begin{array}{lcl} |2^{-x}-2| & \text{dla} & x\leq 1, \cr \frac{x-4}{x-2} & \text{dla} & x > 1. \end{array} \end{cases}$$ Posługując się nim, podać wzór funkcji $g(m)$ określającej liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$, gdzie $m$ jest parametrem rzeczywistym.

  5. Uprościć wyrażenie (dla tych $a,b$, dla których ma ono sens) $$ \left(\displaystyle{ \frac{\sqrt[\leftroot{4}4]{a}}{\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{a}} +\frac{3\sqrt{b}}{\sqrt[\leftroot{4}4]{a}}-3}\right)\cdot \left(\displaystyle{\sqrt[\leftroot{4}4]{ab^2}-b+\frac{2b\sqrt[\leftroot{4}4]{a} - \sqrt{b^3}}{\sqrt[\leftroot{4}4]{a}-\sqrt{b}}}\right).$$ Następnie obliczyć jego wartość dla $a=28-16\sqrt{3}$ i $b=3$.

  6. Dane są zbiory $A=\left\lbrace (x,y):\: x^2+y^2 < 16\right\rbrace $ oraz $ B= \left\lbrace(x,y):\: x^2+y^2 < 4 |\,|x|-|y|\,| \right\rbrace$. Narysować zbiór $A\setminus B$ oraz obliczyć jego pole.