Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2015 r.

Poziom podstawowy

  1. Czy suma długości przekątnych kwadratów o polach $10$ i $\frac{21}{2}$ jest większa od długości przekątnej kwadratu o polu $\frac{81}{2}$? Odpowiedź uzasadnić nie używając kalkulatora.

  2. Grupa słuchaczy wykładu z algebry liczy $261$ osób. Egzamin podstawowy zdała pewna (dodatnia) ilość osób. Po egzaminie poprawkowym liczba osób, które zdały, powiększyła się o $5,6\%$. Ile osób zdało egzamin podstawowy (wskazówka: pamiętaj, że ilość osób, które zdały egzamin jest liczbą całkowitą)?

  3. Hasło do pewnego systemu komputerowego ma składać się z dokładnie $2$ liter (do wyboru z $26$ małych i $26$ dużych liter alfabetu) oraz z przynajmniej $2$ i co najwyżej $4$ cyfr (od $0$ do $9$). Zarówno litery jak i liczby mogą się powtarzać. Ile jest różnych haseł spełniających te warunki?

  4. Rozwiązać nierówność $$x+1 \geq \sqrt{5-x}.$$

  5. Suma 21 pierwszych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego wynosi zero a iloczyn dwunastego i trzynastego wyrazu równy jest 8. Dla jakich liczb $n$ suma $n$ pierwszych wyrazów tego ciągu jest mniejsza od $9$?

  6. Marcin stoi nad brzegiem morza i obserwuje odpływający statek.

    1. Jak daleko będzie statek od (oczu) Marcina w momencie, w którym zniknie on za horyzontem (Marcin przestanie go widzieć)?
    2. Na jak wysoką wieżę musi on wejść, żeby jeszcze widzieć statek będący w odległości $10\,$km od niego?

    Przyjąć, że Ziemia jest kulą o promieniu $6371\,$km a oczy Marcina znajdują się na wysokości $170\,$cm.

Poziom rozszerzony

  1. Ułożono dwie wieże z sześciennych klocków. Pierwszą z trzech klocków o objętościach: $72$, $8$, $3 \mbox{cm}^3$, a drugą z czterech jednakowych klocków o objętości $8\,\mbox{cm}^3$. Która z nich jest wyższa? Odpowiedź uzasadnić nie używając kalkulatora.

  2. Kod do sejfu w willi pana Bogackiego jest pięciocyfrowy. Jego córka, korzystając z chwilowej nieobecności taty, próbuje go otworzyć. Wie jednak tylko, że kod ułożony jest z dokładnie trzech różnych cyfr i nie występują w nim cyfry $1$, $4$ i $9$. Ile jest różnych kodów spełniających te warunki?

  3. Rozwiązać nierówność $$ x-1 > \sqrt{4-\frac{6}{x}}.$$

  4. W jednej szklance znajduje się woda, a w drugiej dokładnie taka sama ilość wina. Z pierwszej szklanki przelano jedną łyżkę wody do szklanki z winem i dokładnie wymieszano. Następnie przelano jedną łyżkę powstałej mieszaniny z powrotem do pierwszej szklanki. Sprawdzić czy po tych zabiegach jest więcej wody w winie czy wina w wodzie.

  5. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich suma równa jest $13$, a suma ich odwrotności wynosi $\frac{13}{9}$. Znaleźć te liczby.

  6. Bocian stoi na słupie o wysokości 5 metrów. Magda, której oczy znajdują się na wysokości $160\,$cm nad ziemią, stoi $10,2$ metra od tego słupa i widzi bociana pod kątem 6 stopni. Jak wysoki jest bocian? Podać wynik z dokładnością do 1 cm. W razie potrzeby odpowiednią funkcję trygonometryczną kąta $6^\circ$ przybliżyć za pomocą tablic matematycznych lub kalkulatora.