Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2016 r.

Poziom podstawowy

1. Andrzej przebiegł maraton, pokonując drugą połowę trasy $10\%$ wolniej od pierwszej. Bernard, biegnąc początkowo w tempie narzuconym przez Andrzeja, w połowie czasu biegu zwolnił o $10\%$. Ustal, który z biegaczy pierwszy przekroczył linię mety.

2. Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, $p\geq 7$. Uzasadnij, że liczba $p^2-49$ jest podzielna przez $24$.

3. Rozwiąż równanie $$ 12\cos^2 3x\cdot\sin^2 2x+\sin^2 3x = 4\sin^2 3x\cdot \sin^2 2x+3\cos^2 3x. $$

4. Wyznacz wszystkie argumenty $x$, dla których funkcja $$ f(x)=\log_3(x^2-x)-\log_9(x^2+x-2) $$ przyjmuje wartości dodatnie.

5. Przekątna rombu o obwodzie $12$ jest zawarta w prostej $x-2y = 0$, a punkt $A(1,3)$ jest jednym z jego wierzchołków. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu i obliczyć jego pole. Wykonać staranny rysunek.

6. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=\sin^2x+\cos^2x+\sin^4x+\cos^4x+\sin^6x+\cos^6x. $$ Znajdź wszystkie liczby z przedziału $[0,2\pi]$ spełniające nierówność $8f(x)>19$. Zastosuj wzory $\;\sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot \cos\alpha\;$ oraz $\;\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.

Poziom rozszerzony

1. Na nowym osiedlu wybudowano sześć budynków. Każdy zostanie pomalowany na jeden z trzech kolorów, a każdy kolor zostanie wykorzystany co najmniej raz. Ustal, na ile sposobów można pomalować te budynki.

2. Zbadaj, dla jakich argumentów $x$ funkcja $$ f(x)={7}^{x^{4}}\cdot49^x\cdot5^{2x^3+x^2}-{5}^{x^4-2}\cdot 25^{x+1}\cdot 49^{x^{3}+\frac{1}{2}x^2} $$ przyjmuje wartości dodatnie.

3. Rozwiąż równanie $$ \tg^2x= \big(4\tg^2x+3\tg x -1\big)\big(1-\tg x+\tg^2x-\tg^3x+\dots\big). $$

4. Wskaż wszystkie wartości $x$, dla których suma nieskończonego ciągu geometrycznego $$ S(x)=2^{-2\sin3x}+2^{-4\sin3x}+2^{-6\sin3x}+\,\dots+2^{-2n\sin3x}+\,\dots $$ nie przekracza jedności.

5. Rozwiąż nierówność logarytmiczną $$ \log_{x+1}(x^{3}-x)\geq\log_{x+1}(x+2)+1. $$

6. Boki $\bigtriangleup ABC$ zawarte są w prostych $\,y=4$, $y=1-mx$ oraz $y=2(x-m)$. Wyznacz wszystkie wymierne wartości parametru $m$, dla których pole rozważanego trójkąta wynosi $|\bigtriangleup ABC|=12$. Dla każdej wyznaczonej wartości $m$ wykonaj odpowiedni rysunek.