Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2016 r.

Poziom podstawowy

  1. Cztery cyfry $0$ i pięć cyfr $1$ ustawiono w przypadkowej kolejności. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na obu końcach powstałego ciągu znalazły się jednakowe cyfry.

  2. Drugi wyraz pewnego ciągu geometrycznego wynosi $8$, a ósmy $2$. Obliczyć siedemnasty wyraz tego ciągu oraz sumę piętnastu wyrazów, poczynając od wyrazu trzeciego. Wynik zapisać w najprostszej postaci.

  3. Rozwiązać nierówność $$\sqrt{2^{x-2}-2}\leqslant 2^{x-1}-5.$$

  4. Dana jest funkcja $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$. Znaleźć wszystkie wartości parametru rzeczywistego $a$, dla których równanie $f(x)=2^a$ posiada rozwiązanie. Sporządzić wykres funkcji $f(x)$.

  5. Romb o boku $a$ i kącie ostrym $\alpha$ zgięto wzdłuż prostej łączącej środki przeciwległych boków, tak aby obie części rombu były wzajemnie prostopadłe. Obliczyć odległość wierzchołków kątów ostrych oraz cosinus kąta pomiędzy połowami krótszej przekątnej w zgiętym rombie.

  6. Długości boków trapezu opisanego na okręgu są liczbami naturalnymi i są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trapezu wynosi $24$. Obliczyć pole oraz dłuższą przekątna trapezu.

Poziom rozszerzony

  1. Spośród $12$ pączków, leżących na półmisku, $6$ było nadziewanych, $6$ lukrowanych, a $4$ nie miały nadzienia ani nie były lukrowane. Franek zjadł dwa losowo wybrane pączki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jadł zarówno pączka lukrowanego jak i pączka z nadzieniem.

  2. Na krzywej o równaniu $y=\sqrt{4-x},\;x\geqslant 0$, znaleźć punkt $P$, tak aby odcinek łączący $P$ z początkiem układu współrzędnych, przy obrocie wokół osi $Ox$, zakreślił powierzchnię o największym polu. Sporządzić rysunek.

  3. Wyznaczyć punkty przecięcia się wykresu funkcji $\displaystyle f(x)=\frac{3x-7}{2x-2}$ z wykresem jej pochodnej $f'(x)$. Korzystając ze wzoru $\displaystyle \mbox{tg}\,(\alpha-\beta)=\frac{\mbox{tg}\,\alpha-\mbox{tg}\,\beta}{1+\mbox{tg}\,\alpha\mbox{tg}\,\beta}$, obliczyć tangensy kątów, pod którymi przecinają się te wykresy. Rozwiązanie zilustrować odpowiednim rysunkiem.

  4. Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnić nierówność $$ 2\sqrt{n}-\frac{3}{2}<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\leqslant 2\sqrt{n}-1,\quad n\geqslant 1.$$ Dla jakich $n$ nierówność ta pozwala na oszacowanie występującej w niej sumy z błędem względnym mniejszym niż $1\%$.

  5. Z punktu $P$ widać okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ pod kątem $2\alpha$. Prosta $PO$ przecina okrąg w punktach $A$ i $C$, a styczne do okręgu, poprowadzone z punktu $P$, przechodzą przez punkty $B$ i $D$ na okręgu. Obliczyć promień okręgu wpisanego w czworokąt $ABCD$ oraz odległość środków obu okręgów.

  6. Podstawą ostrosłupa jest romb o boku $\,5$. Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku podstawy, a krawędzie boczne mają długości $\,6$ i $\,7$. Obliczyć objętość ostrosłupa oraz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.