Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2016 r.

Poziom podstawowy

  1. Z miast A i B odległych o 700 km o tej samej godzinie wyruszają naprzeciw siebie (po dwu równoległych torach) dwa pociągi. Pociąg pospieszny, który wyjeżdża z B, jedzie z prędkością o 35 km/h większą niż wyjeżdżający z A pociąg osobowy i przyjeżdża do A godzinę wcześniej niż pociąg osobowy osiąga B. Z jakimi prędkościami poruszają się pociągi i w jakiej odległości od A się minęły.

  2. Wyznaczyć dziedziny funkcji $f(x)=\sqrt{\frac{|x-1|-4}{x+2}}\,$ oraz $g(x)=f(x+1)\,$ i $h(x)=f(|x|).$

  3. Liczby $$p=\frac{(\sqrt[3]{54}-2)(9\sqrt[3]{4}+6\sqrt[3]{2}+4)-(2-\sqrt{3})^3}{\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})^2}\ \ i\ \ q=\frac{64^{\frac{1}{3}}\sqrt{8}+8^{\frac{1}{3}}\sqrt{64}}{\sqrt[3]{64\sqrt{8}}(1+\sqrt{2})}$$ są miejscami zerowym trójmianu kwadratowego $\,f(x)=x^2+ax+b.\;$ Znaleźć najmniejszą i największą wartość $f(x)$ na przedziale $[0,5].$

  4. Niech $f(x)=x^2.$ Narysować wykres funkcji $g(x)=|f(x-1)-4|$ i określić liczbę rozwiązań równania $g(x)=m$ w zależności o parametru $m$.

  5. Wykresy funkcji $f(x)=\frac{m-1}{m+2}x+1$ i $ g(x)=\frac{m+2}{m-3}x+1$ są prostymi prostopadłymi. Obliczyć pole trójkata ograniczonego wykresami tych funkcji i osią $Ox$. Podać równanie okręgu opisanego na tym trójkącie. Sporządzić rysunek.

  6. W kwadrat $ABCD$ wpisano kwadrat $EFGH$, który zajmuje $3/4$ jego powierzchni. Wyznaczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych mniejszego z kątów trójkąta $EBF.$

Alt text

Poziom rozszerzony

  1. Statek wyrusza (z biegiem rzeki) z przystani A do odległej o 140 km przystani B. Po upływie 1 godziny wyrusza za nim łódź motorowa, dopędza statek w połowie drogi, po czym wraca do przystani A w tym samym momencie, w którym statek przybija do przystani B. Wyznaczyć prędkość statku i prędkość łodzi w wodzie stojącej, wiedząc, że prędkość nurtu rzeki wynosi 4 km/godz.

  2. Narysować wykres funkcji $f(x)=\mbox{min}\left\lbrace x^3, \frac{1}{x} \right\rbrace$ i wyznaczyć jej dziedzinę oraz zbiór wartości. Podać wzór funkcji $h(x),$ której wykres jest symetryczny do wykresu $f(x)$ względem punktu $(0,0).$ Określić liczbę rozwiązań równania $f(x) = m$ w zależności o parametru $m$.

  3. Dla jakich wartości rzeczywistego parametru $p$ równanie $\,(p-1)x^{2}-(p+1)x-1=0\,$ ma dwa pierwiastki tego samego znaku odległe co najwyżej o 1?

  4. Wykresy funkcji $f(x)=(m-1)x+1$ i $g(x)=\frac{m}{m-1}x+b$ są prostymi prostopadłymi, a pole trójkata ograniczonego wykresami tych funkcji i osią $Ox$ jest równe polu trójkąta ograniczonego tymi wykresami i osią $Oy$. Wyznaczyć wzory funkcji $f$ i $g$ i obliczyć pole rozważanych trójkątów. Sporządzić rysunek.

  5. Obliczyć wartości $$p=\sqrt{19-8\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} \ \ i \ \ q=\frac{14\log_9{\frac{1}{2}}-\log_{\sqrt[3]{3}}{\frac{1}{4}}}{\log_9{8}+\log_{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}}.$$Następnie wyznaczyć wzór i narysować wykres funkcji $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},$ wiedząc, że jest on symetryczny względem punktu $(p,\,q)$ i przechodzi przez punkt $(0,\,0).$

  6. Punkt $D$ dzieli bok $AB$ trójkąta równobocznego $ABC$ w stosunku 2:1. Wyznaczyć stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$ do długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt $DBC$.