Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2016 r.

Poziom podstawowy

1. Wyznaczyć wartości $\cos (2\alpha)$ oraz $\cos\left(\frac{1}{2}\alpha\right)$ dla kąta ostrego $\alpha$, takiego że $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. W obu przypadkach zastosować wzór: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

2. Napięta lina przymocowana jest na wysokości jednego metra nad ziemią do dwóch słupów stojących $d=50$ metrów od siebie. Jak wysoko można podnieść tę linę dokładnie w jej środku po wydłużeniu jej o $s = 0.5 $m i przywiązaniu do słupów w tych samych miejscach? Podać dokładny wzór używając oznaczeń $d,s$ oraz odpowiednie przybliżenie.

3. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory $A\cap B$, $A\setminus B$, gdzie $A=\left\lbrace(x,y):\: |y|+|x|\leq 2\right\rbrace$ oraz $B=\left\lbrace(x,y):\: |y| < x^2 \right\rbrace $.

4. Udowodnić, że jeśli wszystkie boki trójkąta są krótsze niż $a$, to jego pole jest mniejsze niż $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

5. Rozwiązać nierówność $$ \sqrt{x+2} \leq 10 - x.$$

6. W pewnym skończonym ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest dodatni i dwa razy większy niż różnica ciągu, a suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest o $10\%$ większa niż suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych. Ile wyrazów ma ten ciąg?

Poziom rozszerzony

1. Wyznaczyć wartość $\sin\alpha$, jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym takim, że $\tg\alpha + \ctg\alpha =4$. Jaka jest najmniejsza wartość funkcji $f(\alpha) = \tg\alpha + \ctg\alpha$ dla $\alpha\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$?

2. Rozwiązać nierówność $$ \sqrt{\frac{6-x}{x-1}} < 3x-4. $$

3. Narysować na płaszczyźnie zbiór $A \setminus B$, gdzie $A=\left\lbrace (x,y):\: x^2-2|x|+y^2-2|y| \leq 0 \right\rbrace$, $B=\left\lbrace (x,y): |y|+2|x|<2\right\rbrace$ oraz obliczyć jego pole.

4. Dane są dwa ciągi arytmetyczny i geometryczny, każdy składający się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciągów są jednakowe, a suma wyrazów ciągu arytmetycznego jest o $25\%$ większa od sumy wyrazów ciągu geometrycznego. Znaleźć wszystkie takie pary ciągów.

5. Piłkarz stojący na linii bocznej boiska widzi bramkę pod kątem $\alpha=5^{\circ}$ (co oznacza, że kąt utworzony przez odcinki łączące piłkarza i słupki bramki wynosi $\alpha$). Wiadomo, że bramka ma szerokość $b=7,32$ m, a długość linii końcowej wynosi $w=68$ m, zaniedbujemy natomiast szerokość słupków bramki. W jakiej odległości od linii końcowej boiska stoi piłkarz? Dla jakich wartości kąta $\alpha$ istnieje rozwiązanie, jeżeli długość boiska wynosi $l=105$ m? Podać dokładny wzór używając oznaczeń $\alpha,b,w,l$, oraz przybliżenie z dokładnością do $1$cm.

   

6. Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym środkiem okręgu opisanego jest punkt $S$, a $P$ jest jego ortocentrum (punktem przecięcia wysokości lub ich przedłużeń). Ponadto $\angle ABC= 60^{\circ}$. Udowodnić, że $SB=PB$.