Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 3— listopad 2016 r.

Poziom podstawowy

  1. Narysować wykres funkcji $f(x) = \sin x |\cos x|$ i rozwiązać nierówność $|f(x)|\geq \frac{1}{4}$.

  2. Na ile różnych sposobów może usiąść na ławce pięcioosobowa rodzina, jeżeli najmłodsza córka musi siedzieć obok mamy?

  3. Rozwiązać równanie $$\cos x + \sin x = \sqrt{1- 2\cos^2 x}.$$
  4. Rozwiązać nierówność $$ f(x) \leq \frac{1}{f(x)},$$ gdzie $f(x) = \frac{1}{6}x^2-\frac{7}{6}x+1$.

  5. Punkty $A(2,0)$ i $C(-1,3)$ są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu $10$. Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków oraz obliczyć jego obwód.

  6. Dane jest półkole o średnicy $AB$ i promieniu o długości $|AO|=r$. Na promieniu $AO$ jako na średnicy wewnątrz danego półkola zakreślono półokrąg. Na większym półokręgu obrano punkt P i połączono go z punktami A i B. Odcinek AP przecina mniejszy półokrąg w punkcie C. Obliczyć długość odcinka $BC$, jeśli wiadomo, że $|AP|=2|BP|$.

Poziom rozszerzony

  1. Nieuczciwy pracownik próbuje włamać się do skrzynki pocztowej swojego szefa. Wie, że hasło dostępu ma 8 znaków i na pewno zawiera cyfry $0105$ (oznaczające urodziny szefa) oraz cztery nieznane mu litery (do wyboru z 26 małych i 26 dużych liter alfabetu). Cyfry występują w podanej kolejności ale mogą być rozdzielone literami. Ile różnych haseł spełnia te warunki?

  2. Rozwiązać równanie $$ \log_{\cos x} \sin x + \log_{\sin x} \cos x - 2 = 0.$$

  3. Resztą z dzielenia wielomianu $w(x)=x^3+3x^2+10a$ przez $x-a$ jest $-16$. Wyznaczyć wartość parametru $a$ oraz rozwiązać nierówność $$ (x-3)w(x)\leq (x-2) w(x-1).$$

  4. Rozwiązać równanie $$\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{1-\cos^2 x} = \frac{5}{2+\sin^4 x - \cos^4 x}.$$

  5. W trójkącie $ABC$ dany jest wierzchołek $A(1,1)$, a bok $BC$ jest zawarty w prostej $x+3y-14=0$. Ponadto $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{4}{3},-\frac{8}{3}\right)$, gdzie $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Wyznaczyć współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta $ABC$, obliczyć jego pole i kosinus kąta między środkową $CE$ a bokiem $AC$.

  6. W trapezie $ABCD$ podstawa $AB$ tworzy z przekątną $AC$ kąt dwa razy mniejszy niż z bokiem $BC$. Ponadto $|AB|=23$ oraz $|BC|=9$. Znaleźć długości pozostałych boków tego trapezu jeżeli wiadomo, że jego pole wynosi $60\sqrt{2}$.