Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2017 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiązać równanie $$ \frac{\sin{x}}{2\cos^2{2x}-1}=1.$$

2. Niech $ f(x)=\sqrt{x}.\,$ Podać wzór funkcji:

   a) $g(x)$, której wykres jest symetrycznym obrazem wykresu $ f(x)$ względem prostej $x=1.$

   b) $h(x)$, której wykres jest symetrycznym obrazem wykresu $ f(x)$ względem punktu $(0,-1)$.

   Narysować wykresy wszystkich funkcji. Uzasadnić, wykonując odpowiednie obliczenia, że znalezione funkcje spełniają podane warunki.

3. Wykazać, że dla dowolnego $n\geq 2$ liczba $\;\frac{1}{4}\cdot 100^n+4\cdot 10^n+16\,$ jest kwadratem liczby naturalnej i jest podzielna przez 81.

4. Narysować wykres funkcji $$f(x) = \begin{cases} \begin{array}{lcl} 2-x-x^2 & ,\text{gdy} & -1\leq x\leq 1,\cr \frac{x-1}{x+1} &, \text{gdy} & |x| > 1. \end{array} \end{cases}$$

   Posługując się wykresem, podać zbiór wartości funkcji $f$ oraz jej najmniejszą i największą wartość na przedziałach $[-1,2]$ oraz $[0,3].$

5. Znaleźć równanie stycznej $l$ do paraboli $y=x^2$ równoległej do prostej $y=2x-3.\,$

   Wyznaczyć punkt, w którym styczna do tej paraboli jest prostopadła do znalezionej prostej $l$. Sporządzić rysunek.

6. Rozwiązać układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{lcl} x^2+y^2 &=& 8,\cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =&1. \end{array} \end{cases}$$ i podać jego interpretację geometryczną.

Poziom rozszerzony

1. Niech $f(x)=\frac{x-1}{x+2}.\,$ Podać i uzasadnić wzór funkcji, której wykres jest obrazem symetrycznym wykresu funkcji $f(x)$ względem prostej $x=2.$ Sporządzić wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.

2. Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnić prawdziwość wzoru $$\binom{2}{2}+\binom{4}{2} +\cdots +\binom{2n}{2} =\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\;\;\;\;\; \mbox{dla}\;\; n\geq 1.$$

3. Wykorzystując metody rachunku różniczkowego znaleźć zbiór wartości funkcji $f(x)=x^3-3x^2-9x+3$ na przedziale $[-1,4].$ Wyznaczyć przedziały o długości 1, w których znajdują się miejsca zerowe tej funkcji i sporządzić jej wykres.

4. Znaleźć równanie stycznej $l$ do wykresu funkcji $f(x)=\frac{2}{x}+x^2$ w punkcie przecięcia z prostą $y=x$. Wyznaczyć wszystkie styczne równoległe do znalezionej prostej $l$.

5. Narysować wykres funkcji $$f(x)= 1+\frac{\sin{x}}{1+\sin{x}}+\left(\frac{\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^2+\left(\frac{\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^3+\left(\frac{\sin{x}}{1+\sin{x}}\right)^4+\ldots\,,\;\;\;$$ gdzie prawa strona jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

   Rozwiązać nierówność
   $$ f(x)>\sqrt{3}\cos{x}.$$

6. Wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań $$\begin{cases} \begin{array}{l} x^2+y^2 =2y, \cr y=x^2-p. \end{array} \end{cases}$$

   w zależności od parametru $p$. Podać interpretację geometryczną układu.