Uprościć następujące wyrażenie, określiwszy uprzednio jego dziedzinę: $$ {1\over \sqrt[6]{a^3b^2}-\sqrt[6]{b^5}}( \sqrt[3]{a^2}-{b\over \sqrt[3]{a}}) + {1\over \sqrt{a}+\sqrt{b}} :{\sqrt[3]{ab}\over a-b}.$$ Obliczyć wartość tego wyrażenia, przyjmując $\;a=3+2\sqrt{2}\,$ i $\;b=1+\sqrt{2}$.
Niech $B$ oznacza dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}},$ a $A=\left\lbrace x\in \mathbb{R} \, \frac{1}{|x^2-1|}\geq 4 \right\rbrace$. \ Wyznaczyć i zaznaczyć na osi liczbowej zbiory $A$, $B$, $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $(A\setminus B)\cup(B\setminus A).$
Podać wzór funkcji kwadratowej, której wykres jest symetrycznym odbiciem wykresu funkcji $f(x)=x^2+2x$ względem: $\;$ a) prostej $x=1,$ b) punktu $(0,0),$ c) punktu $(1,0)$.\ Odpowiedź uzasadnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia. Sporządzić staranne wykresy wszystkich rozważanych funkcji.
W pewnym ciągu arytmetycznym różnica piętnastego i drugiego wyrazu jest równa 13. Oblicz $a_{30}-a_4$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów o numerach nieparzystych, wiedząc, że suma pierwszych dziesięciu wyrazów o numerach parzystych jest równa 125.
Przekątne trapezu prostokątnego o podstawach 3 i 4 przecinają się pod kątem prostym. Obliczyć obwód i pole trapezu. Sporządzić rysunek.
Ostrosłup prawidłowy, którego podstawą jest kwadrat o boku $a$, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ostrosłupa i przekątną podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe polu podstawy. Wyznaczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.
Uprościć następujące wyrażenie, określiwszy uprzednio jego dziedzinę: $${\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\over \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\cdot {a-b\over\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}\cdot \left(1+{\sqrt[3]{b}\over\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}- {1+\sqrt[3]{b}\over\sqrt[3]{b}}\right): {\sqrt[3]{b}(1+\sqrt[3]{b})-\sqrt[3]{a}\over\sqrt[3]{b}}$$ Obliczyć wartość tego wyrażenia dla $\;a=7+5\sqrt{2}\;$ i $\;b=7-5\sqrt{2}$.
Dla jakiego rzeczywistego parametru $m$ równanie $$\frac{m+1}{mx}-\frac{x}{m}=1+\frac{m}{x}\,$$ ma dwa pierwiastki będące sinusem i cosinusem kąta z przedziału $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$?
Dane są liczby: $m=\displaystyle{\left({6\atop 4}\right)\cdot \left({8\atop 2}\right)\over \left({7\atop 3}\right)},$ $n=\displaystyle{(\sqrt{2})^{-4}\bigl(\frac{1}{4}\bigr)^{-\frac{5}{2}} \sqrt[4]{3}\over\bigl(\sqrt[4]{4}\bigr)^{5}\cdot\sqrt{32}\cdot 27^{-\frac{1}{4}}}.\;$ Wyznaczyć $k$ tak, by liczby $m, k, n$ były odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego, a następnie wyznaczyć sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, którego pierwszymi trzema wyrazami są $m, k, n$. Ile wyrazów tego ciągu należy wziąć, by ich suma przekroczyła 95\% sumy wszystkich wyrazów?
Podać wzór funkcji homograficznej, której wykres jest symetrycznym odbiciem wykresu funkcji $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ względem: a) prostej $x=1,$ b) punktu $(0,0),$ c) punktu $(1,0)$. Odpowiedź uzasadnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia. Sporządzić staranne wykresy wszystkich rozważanych funkcji.
W czworokącie wypukłym $ABCD$, w którym $AB=1, BC=2, CD=4,$ $DA=3,\,$ cosinus kąta przy wierzchołku $B$ jest równy $-\frac{5}{7}$. Wykazać, że czworokąt ten można wpisać w okrąg i obliczyć promień $R$ tego okręgu. Sprawdzić, czy w rozważany czworokąt można wpisać okrąg. Jeżeli tak, to obliczyć jego promień.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie są równe, poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez jedną z krawędzi podstawy oraz środki dwu przeciwległych do niej krawędzi bocznych. Obliczyć stosunek pola powierzchni przekroju do pola podstawy oraz stosunek objętości brył, na jakie płaszczyzna podzieliła ostrosłup.