Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2017 r.

Poziom podstawowy

  1. Uprościć następujące wyrażenie, określiwszy uprzednio jego dziedzinę: $$ {1\over \sqrt[6]{a^3b^2}-\sqrt[6]{b^5}}( \sqrt[3]{a^2}-{b\over \sqrt[3]{a}}) + {1\over \sqrt{a}+\sqrt{b}} :{\sqrt[3]{ab}\over a-b}.$$ Obliczyć wartość tego wyrażenia, przyjmując $\;a=3+2\sqrt{2}\,$ i $\;b=1+\sqrt{2}$.

  2. Niech $B$ oznacza dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}},$ a $A=\left\lbrace x\in \mathbb{R} \, \frac{1}{|x^2-1|}\geq 4 \right\rbrace$. \ Wyznaczyć i zaznaczyć na osi liczbowej zbiory $A$, $B$, $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $(A\setminus B)\cup(B\setminus A).$

  3. Podać wzór funkcji kwadratowej, której wykres jest symetrycznym odbiciem wykresu funkcji $f(x)=x^2+2x$ względem: $\;$ a) prostej $x=1,$ b) punktu $(0,0),$ c) punktu $(1,0)$.\ Odpowiedź uzasadnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia. Sporządzić staranne wykresy wszystkich rozważanych funkcji.

  4. W pewnym ciągu arytmetycznym różnica piętnastego i drugiego wyrazu jest równa 13. Oblicz $a_{30}-a_4$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów o numerach nieparzystych, wiedząc, że suma pierwszych dziesięciu wyrazów o numerach parzystych jest równa 125.

  5. Przekątne trapezu prostokątnego o podstawach 3 i 4 przecinają się pod kątem prostym. Obliczyć obwód i pole trapezu. Sporządzić rysunek.

  6. Ostrosłup prawidłowy, którego podstawą jest kwadrat o boku $a$, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wysokość ostrosłupa i przekątną podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe polu podstawy. Wyznaczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Poziom rozszerzony

  1. Uprościć następujące wyrażenie, określiwszy uprzednio jego dziedzinę: $${\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\over \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\cdot {a-b\over\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}\cdot \left(1+{\sqrt[3]{b}\over\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}- {1+\sqrt[3]{b}\over\sqrt[3]{b}}\right): {\sqrt[3]{b}(1+\sqrt[3]{b})-\sqrt[3]{a}\over\sqrt[3]{b}}$$ Obliczyć wartość tego wyrażenia dla $\;a=7+5\sqrt{2}\;$ i $\;b=7-5\sqrt{2}$.

  2. Dla jakiego rzeczywistego parametru $m$ równanie $$\frac{m+1}{mx}-\frac{x}{m}=1+\frac{m}{x}\,$$ ma dwa pierwiastki będące sinusem i cosinusem kąta z przedziału $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$?

  3. Dane są liczby: $m=\displaystyle{\left({6\atop 4}\right)\cdot \left({8\atop 2}\right)\over \left({7\atop 3}\right)},$ $n=\displaystyle{(\sqrt{2})^{-4}\bigl(\frac{1}{4}\bigr)^{-\frac{5}{2}} \sqrt[4]{3}\over\bigl(\sqrt[4]{4}\bigr)^{5}\cdot\sqrt{32}\cdot 27^{-\frac{1}{4}}}.\;$ Wyznaczyć $k$ tak, by liczby $m, k, n$ były odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego, a następnie wyznaczyć sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, którego pierwszymi trzema wyrazami są $m, k, n$. Ile wyrazów tego ciągu należy wziąć, by ich suma przekroczyła 95\% sumy wszystkich wyrazów?

  4. Podać wzór funkcji homograficznej, której wykres jest symetrycznym odbiciem wykresu funkcji $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ względem: a) prostej $x=1,$ b) punktu $(0,0),$ c) punktu $(1,0)$. Odpowiedź uzasadnić, przeprowadzając odpowiednie obliczenia. Sporządzić staranne wykresy wszystkich rozważanych funkcji.

  5. W czworokącie wypukłym $ABCD$, w którym $AB=1, BC=2, CD=4,$ $DA=3,\,$ cosinus kąta przy wierzchołku $B$ jest równy $-\frac{5}{7}$. Wykazać, że czworokąt ten można wpisać w okrąg i obliczyć promień $R$ tego okręgu. Sprawdzić, czy w rozważany czworokąt można wpisać okrąg. Jeżeli tak, to obliczyć jego promień.

  6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie są równe, poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez jedną z krawędzi podstawy oraz środki dwu przeciwległych do niej krawędzi bocznych. Obliczyć stosunek pola powierzchni przekroju do pola podstawy oraz stosunek objętości brył, na jakie płaszczyzna podzieliła ostrosłup.