Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2017 r.

Poziom podstawowy

  1. Rozwiązać nierówność $$ 2x - 2 > \sqrt{7 - 4x}.$$

  2. Dla jakich wartości parametru $m$ pierwiastkiem wielomianu
    $$ w(x) = 2x^3 - x^2 - (m^2-2) x + m - 1 $$ jest $x=2$? \ Dla znalezionych wartości $m$ wyznaczyć pozostałe pierwiastki $w(x)$.

  3. Narysować staranny wykres funkcji $ f(x) = | \sin x | \cos x - \frac{1}{4}$ i rozwiązać nierówność $$ f(x) \leq -\frac{1}{2}.$$

  4. Rozwiązać równanie $$ 4^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5\cdot 2^{x - 1 + \sqrt{x^2-2}} = 6.$$
  5. W trójkącie równoramiennym $ABC$ o podstawie $AB$ dane są $A(2,-1)$ oraz $B(-1,3)$. Środkowe poprowadzone z $A$ i z $B$ są prostopadłe. Znaleźć współrzędne punktu $C$ oraz obliczyć pole i obwód tego trójkąta.
  6. W okrąg o promieniu $R$ wpisano trzy jednakowe okręgi wzajemnie styczne w punktach $A,B,C$ i styczne do danego okręgu. Obliczyć pole obszaru ograniczonego mniejszymi łukami $AB$, $BC$ i $CA$.

Poziom rozszerzony

  1. Rozwiązać nierówność $$ \sqrt{2x^2-x} < 5 - 4x.$$

  2. Rozwiązać układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{ccr} xy &=& 400,\cr x^{\log y} &=& 16. \end{array} \end{cases}$$

  3. Narysować staranny wykres funkcji $f(x)=|\sin x| - \cos x$, wyznaczyć jej zbior wartości oraz rozwiązać nierówność $$ \frac{1}{f(x)} \geq 1.$$

  4. Reszta z dzielenia wielomianu $w(x) = x^4 + a x^3 - b x^2 + b x$ przez trójmian $x^2 - 9$ wynosi $-5x + 45$. Wyznaczyć wartości parametrów $a$ i $b$ oraz rozwiązać nierówność $$ w(x-1) \geq w(x+1).$$

  5. Dany jest punkt $A(2,1)$. Wyznaczyć i narysować zbiór tych wszystkich punktów $C$, dla których czworokąt $ABCD$ jest prostokątem takim, że punkty $B$ i $D$ leżą na osiach układu współrzędnych i nie należą do tego samego boku prostokąta. Wykonać rysunek.

  6. Nad sześcianem o krawędzi $a$ stojącym na płaszczyźnie umieszczono punktowe źródło światła na wysokości $b>a$ (rzut prostopadły punktu, w którym jest źródło światła na tę płaszczyznę, zawiera się w podstawie sześcianu). Obliczyć pole obszaru jaki zajmuje cień sześcianu łącznie z jego podstawą na tej płaszczyźnie.