Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2017 r.

Poziom podstawowy

1. Dwaj kolarze jeżdżą po torze w kształcie okręgu ze stałymi prędkościami. Jeżeli startują z tego samego punktu i jadą w tę samą stronę, to szybszy z nich pierwszy raz ponownie zrówna się z wolniejszym, wyprzedzając go o jedno okrążenie, po przejechaniu dokładnie $7$ okrążeń. Ilu okrążeń potrzebuje szybszy kolarz żeby dogonić kolegę, jeżeli startują z przeciwległych stron toru (tzn. odcinek łączący punkty ich startu jest średnicą koła)?

2. Liczby o $16\% $ mniejsza i o $43\% $ większa od ułamka okresowego $0,(75)$ są pierwiastkami trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych względnie pierwszych. Obliczyć resztę z dzielenia tego trójmianu przez dwumian $(x-1)$.

3. Rozwiązać równanie $$ \sin x + \cos x = \frac{1}{\sin x}.$$

4. Rozwiązać nierówność $$ \frac{\log_2(10-x^2)}{\log_2(4-x)} > 2. $$

5. Dwa okręgi o promieniach $r$ i $R$ styczne zewnętrznie w punkcie $C$, są styczne do prostej $k$ w punktach $A$ i $B$. Wyznaczyć kąt $\angle ACB$ i promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$.

6. Dane są punkty $A(2,-2)$ i $B(8,1)$. Na paraboli $y=x^2-x$ znaleźć taki punkt $C$, żeby pole trójkąta $ABC$ było najmniejsze. Wykonać rysunek.

Poziom rozszerzony

1. Czy wieża zbudowana z sześciennych klocków o objętościach $1,3,9,27,$ zmieści się na półce o wysokości $ \frac{15}{2}$? Odpowiedź uzasadnić nie stosując obliczeń przybliżonych.

2. Rozwiązać równanie $$ \cos 2x = (\sqrt{3} - 1 ) \sin x (\cos x + \sin x).$$

3. Sporządzić staranny wykres funkcji $f(x)=|2^{-|x|+1}-1|-\frac{1}{2}.$ Opisać sposób postępowania. Rozwiązać nierówność $f(x)>0.$

4. Rozwiązać nierówność $$ \log_2 x + \log_2^3 x + \log_2^5 x + ... < \frac{20}{9}. $$

5. Pod jakim kątem przecinają się okręgi o równaniach $(x-6)^2+y^2=9$, $x^2+(y+4)^2=25$ (kątem miedzy dwoma okręgami nazywamy kąt między stycznymi w punkcie przecięcia)? Znaleźć równanie okręgu, którego środek leży na prostej $2x-y=0$, i który przecina każdy z danych okręgów pod kątem prostym.

6. Boisko do gry w football amerykański ma kształt prostokąta o długości $a$ i szerokości $b<a$. Na środku krótszych boków stoją bramki o szerokości $d<b$. Z którego miejsca linii bocznej boiska (czyli dłuższego boku prostokąta) widać bramkę pod największym możliwym kątem? Wyrazić odpowiedź za pomocą wzoru zawierającego symbole $a,b,d$, a następnie wykonać obliczenia dla wartości $a=110m$, $b=49m$, $d=5m$.