Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2017 r.

Poziom podstawowy

  1. Rodzina składa się z pięciorga dzieci i dwojga rodziców. Załóżmy, że dzieci nie mogą wyjść na spacer ani nie mogą zostać w domu bez opieki któregokolwiek z rodziców. W ilu możliwych kombinacjach dzieci mogą wyjść na spacer zakładając, że przynajmniej jedno dziecko idzie na spacer?

  2. Na bokach prostokąta o stałym obwodzie $4p$ opisano na średnicach półokręgi leżące na zewnątrz prostokąta. Dla jakich wartości boków prostokąta pole figury ograniczonej krzywą złożoną z tych czterech półokręgów jest najmniejsze? Wykonać staranny rysunek.

  3. Punkty $A(1,3), B(5,1), C(4,4)$ są wierzchołkami trójkąta. Obliczyć stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

  4. Liczby $x_1$, $x_2$ są pierwiastkami równania $x^2-3x+A=0$, a liczby $x_3$, $x_4$ pierwiastkami równania $x^2-12x+B=0$. Wiadomo, że liczby $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ tworzą ciąg geometryczny. Znaleźć ten ciąg oraz liczby $A$ i $B$.

  5. Rozwiązać układ równań: $$\begin{cases} \begin{array}{ccr} x^2+y^2-2x-4y+1 &=& 0,\cr \left|x-1\right|-y &=& 0. \end{array} \end{cases}$$ a następnie obliczyć pole obszaru, który jest rozwiązaniem układu nierówności: $$\begin{cases} \begin{array}{ccr} x^2+y^2-2x-4y+1 &\leq& 0,\cr \left|x-1\right|-y\ &\leq& 0. \end{array} \end{cases}$$ Sporządzić staranny rysunek.

  6. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym okrąg styczny do dwóch boków podstawy i przechodzący przez jej wierzchołek nieleżący na żadnym z tych boków ma promień $r=2$. Płaszczyzna przechodząca przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt $45^{\circ}$. Obliczyć objętość graniastosłupa.

Poziom rozszerzony

  1. Na ile sposbów można umieścić 6 osób w pokojach dwuosobowych przy założeniu, że pewne dwie ustalone osoby nie chcą mieszkać razem oraz że:

    a) pokoje są jednakowe, a więc ważne jest kto mieszka z kim, ale nieważne w którym pokoju;

    b) pokoje są istotnie różne, a więc ważne jest kto mieszka w którym pokoju?

  2. Rozwiązać następującą nierówność $[\cos^2x+\cos^3x+\cos^4x+\ldots< \cos x+1]$ dla $x\in \left[ 0, 2\pi\right]$.

  3. Pokazać, że dla każdej wartości parametru $m$ wielomian $[w(x)=x^3+(2m-1)x^2-(3+2m)x +3]$ ma pierwiastek całkowity. Dla jakich wartości parametru $m$ pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny?

  4. Punkt $A$ należy do obszaru kąta o mierze stopniowej $60$. Odległości tego punktu od ramion kąta są równe $a$ i $b$. Wyznaczyć odległość punktu $A$ od wierzchołka kąta. Następnie obliczyć tę odległość dla $a=2$ i $b=\sqrt{3}-1$.

  5. Z punktu $A(1,1)$ wychodzą dwie półproste prostopadłe przecinające oś $OX$ układu współrzędnych. Niech $F$ będzie obszarem kąta prostego wyznaczonego przez te półproste, $G$ zaś zbiorem wszystkich punktów o obydwóch współrzędnych nieujemnych. Wyznaczyć położenie półprostych, dla których pole figury $F\cap G$ jest najmniejsze.

  6. Znaleźć najmniejszą możliwą objętość stożka opisanego na walcu, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku 2.