Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2018 r.

Poziom podstawowy

  1. Rozwiązać równanie $$3^{\log_{\sqrt{3}}{(2^x-1)}}=2^{x+1}+1.$$

  2. Jaki zbiór tworzą środki wszystkich cięciw przechodzących przez ustalony punkt zadanego okręgu?

  3. Narysować wykres funkcji $ f(x)=\frac{|x+2|-1}{x-1}.\,$ Wyznaczyć zbiór jej wartości oraz najmniejszą i największą wartość na przedziale $[-3,0].$

  4. Niech $T$ będzie przekształceniem płaszczyzny polegającym na przesunięciu o wektor $[1,2]$, a $S$ -- symetrią względem prostej $y=x.$ Wyznaczyć (analitycznie) obrazy kwadratu o wierzchołkach $(0,1), (1,1), (1,2)$ i $(0,2)$ w przekształceniach $S\circ T$ i $T\circ S$. Sporządzić staranne rysunki.

  5. Wspólne styczne do stycznych zewnętrznie okręgów o promieniach $r<R$ przecinają się pod kątem $2\alpha$. Wyznaczyć stosunek pól tych okręgów. Dla jakiego kąta $\alpha$ duże koło ma 9 razy większe pole niż małe?

  6. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest 4 razy większe od pola jego podstawy. Obliczyć sinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa.

Poziom rozszerzony

  1. W rozwinięciu $\;(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left({n\atop k}\right)a^{n-k}b^k}\;$ dla$\; a=\sqrt{x},\;\;b=\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\;$ trzy pierwsze współczynniki przy potęgach $x$ tworzą ciąg arytmetyczny. Znaleźć wszystkie składniki rozwinięcia, w którym $x$ występuje w potędze o wykładniku całkowitym.

  2. Punkty $K,L,M$ dzielą boki $AB$, $BC$, $CA$ trójkąta $ABC$ (odpowiednio) w tym samym stosunku, tzn. $$\frac{|KB|}{|AB|}=\frac{|LC|}{|BC|}=\frac{|MA|}{|CA|}=s$$ Wykazać, że dla dowolnego punktu $P$ znajdującego się wewnątrz trójkąta zachodzi równość $$\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PL}+\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}.$$

  3. Narysować wykres funkcji $ f(x)=\frac{(x+1)^2-1}{x|x-1|}.\,$ Wyznaczyć styczną do wykresu w punkcie $(-2, f(-2))$ oraz styczną do niej prostopadłą.

  4. Końce odcinka $AB$ o długości $l$ poruszają się po okręgu o promieniu $R$ ($l<2R$). Na odcinku obrano punkt $P$ tak, że $ \frac{|AP|}{|PB|}=\frac{1}{3}.$ Uzasadnić, że poruszający się punkt $P$ zakreśla okrąg o tym samym środku. Dla jakiego $l$ wycięte w ten sposób koło ma pole dwa razy mniejsze od pola dużego koła.

  5. Rozważamy zbiór wszystkich trójkątów o polu 10, których jednym z wierzchołków jest $A(5,0)$ a pozostałe dwa leżą na osi $Oy$. Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które są środkami okręgów opisanych na tych trójkątach.

  6. W przeciwległe narożniki sześcianu o boku 1 wpisano dwie kule o takich samych promieniach tak, że każda z nich jest styczna do drugiej i do trzech ścian wychodzących z odpowiedniego wierzchołka. Jaka jest odległość ich środków?