Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2018 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiąż nierówność $$ \frac{3x-1}{x}\geq 1+\frac{\sqrt{1-x}}{x}. $$

2. W zagrodzie jest $10$ zwierząt, po parze danego gatunku. Oblicz prawdopodobieństwo, że w zagrodzie zostanie choć jedno zwierzę każdego gatunku, jeśli wypuścimy z niej $4$ losowo wybrane zwierzęta.

3. Bez użycia kalkulatora porównaj liczby $$ a=\sqrt{11-4\sqrt{7}}\qquad\mbox{oraz}\qquad b=\log^22\cdot\log{250}+\log^25\cdot\log{40}. $$

4. Wyznacz wszystkie argumenty $x$, dla których funkcja $$ f(x)=27^{x^2}\cdot 4^{x^2(x-3)}\cdot 3^x-6\cdot 3^{x^3+2}\cdot 2^{2x-7} $$ przyjmuje wartości dodatnie.

5. Wyznacz skalę podobieństwa trójkąta równobocznego opisanego na okręgu do trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg. Jaki jest stosunek pól tych trójkątów, a jaki stosunek objętości stożka o kącie rozwarcia $60^\circ$ opisanego na kuli do objętości podobnego stożka wpisanęgo w tę kulę?

6. Wśród prostokątów o ustalonej długości przekątnej $p$ wskaż ten o największym polu.

Poziom rozszerzony

1. Rozwiąż nierówność $$ x+1+\frac{1}{x-1}\geq \left(1+\frac{1}{x-1}\right)\sqrt{2-x}. $$

2. Narysuj wykres funkcji  $\displaystyle f(x)=|1+\,\log_2\frac{1}{\,\mbox{ $|$}1-|x|\mbox{$|$}\,}|$,  opisz słownie metodę jego konstrukcji oraz zbadaj, dla jakich argumentów spełniona jest nierówność $f(x)\leq1$.

3. Rozwiąż równanie logarytmiczne $$ \log_{(x+2)^2}|x-1|=\log_{|x-1|}\sqrt{x+2}. $$

4. Trzech alpinistów atakuje szczyt, wchodząc jednocześnie, niezależnie od siebie, z różnych stron góry. Prawdopodobieństwo zdobycia szczytu szlakiem północnym wynosi $\displaystyle \frac{1}{3}$, szlakiem zachodnim - $\displaystyle \frac{1}{2}$, a południowym - $\displaystyle \frac{3}{7}$. Oblicz prawdopodobieństwo, że atak się powiedzie (tzn. przynajmniej jeden z alpinistów zdobędzie szczyt).

5. Oblicz tangens kąta rozwarcia stożka, dla którego kula wpisana w ten stożek zajmuje dokładnie połowę jego objętości.

6. Wyznacz równanie linii będącej zbiorem środków wszystkich okręgów stycznych do prostej $y=0$ i jednocześnie stycznych do okręgu $x^2+y^2=2$. Wykonaj odpowiedni rysunek.