Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2018 r.

Poziom podstawowy

  1. Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu trzeciego stopnia $w(x)$ oraz wielomianu $w(x+1)$. środkiem symetrii wykresu $w(x)$ jest punkt $S(0,2)$. Narysować staranny wykres funkcji \linebreak[4]$f(x)=|w(x-1)|$. (środkiem symetrii krzywej o równaniu $y(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ jest punkt $\displaystyle S\left(\frac{-b}{3a},y\left(\frac{-b}{3a}\right)\right)$.)

  2. Sala jest oświetlona 5 żarówkami. Wkręcono losowo żarówki żółte, czerwone, zielone i niebieskie. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wkręcono co najmniej dwie żarówki żółte i co najmniej dwie czerwone.

  3. Rozwiązać równanie $$\frac{\cos 5x}{\cos 3x}+1=0.$$

  4. Wazon w kształcie walca, którego wysokość jest większa od średnicy podstawy, ma objętość 1200 cm$^3$. Napełniony wodą wazon przechylono tak, że jego oś symetrii utworzyła z pionem kąt 45$^o$. Wylało się 200 cm$^3$ wody. Podać wymiary wazonu (pominąć grubość ścianek).

  5. Podstawa $AB$ trapezu równoramiennego jest średnicą okręgu opisanego na nim. Za pomocą rachunku wektorowego wyznaczyć współrzędne wierzchołków $B$ i $C$, wiedząc, że $|AB|=5,\;A(1,1),\;D(3,2)$ oraz że $B$ leży w dolnej półpłaszczyźnie.

  6. Krzywa spiralna jest utworzona z ćwiartek okręgów, których promienie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q>1$. środek pierwszego okręgu znajduje się w początku układu współrzędnych, a punkt $P_0(2,0)$ jest początkiem krzywej. środek $O_2$ drugiego okręgu leży na osi $Oy$ tak, że łuki obu okręgów łączą się w punkcie $P_1$ (rysunek). środki kolejnych okręgów są tak położone, że utworzona krzywa jest gładka i promień łuku mniejszego okręgu jest częścią promienia łuku większego okręgu (rysunek). Znaleźć współrzędne środka $O_6$ oraz długość łuku spirali $P_0P_6$. Wynik podać w najprostszej postaci. Następnie wykonać obliczenia dla $\displaystyle q=\frac{3}{2}$.

Alt text

Poziom rozszerzony

  1. Stosując zasadę indukcji matematycznej, wykazać, że dla wszystkich $n\geq 1$ liczba\linebreak[4] $10^n+18n-1$ jest podzielna przez 27.

  2. Sprawdzić tożsamość $$ \frac{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}{\sin^2\alpha-\cos^2\beta}=\,\mbox{tg}(\alpha+\beta)\,\mbox{tg}(\alpha-\beta)$$ i określić jej dziedzinę.

  3. Dwóch strzelców oddało każdy po dwa strzały i okazało się, że cel został trafiony dokładnie dwa razy. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwukrotnie trafił pierwszy strzelec, jeśli za każdym razem pierwszy trafia z prawdopodobieństwem $\displaystyle \frac{4}{5}$, a drugi z prawdopodobieństwem $\displaystyle \frac{3}{5}$.

  4. Znaleźć wartość parametru nieujemnego $p$, dla którego suma kwadratów odwrotności pierwiastków równania $$ x^2+(p+1)x-(p+3)=0$$ jest najmniejsza.

  5. Rozwiązać układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{ccl} x^2y^2 &=& 4\cr y^4-6y^2-x^2+9 &=& 0. \end{array} \end{cases}$$ Podać interpretację geometryczną tego układu i obliczyć pole wielokąta utworzonego przez jego rozwiązania (interpretowane jako punkty na płaszczyźnie). Sporządzić rysunek.

  6. Podstawą ostrosłupa $ABCD$ jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku $2\alpha$. Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek $D$ ostrosłupa i wysokość podstawy jest płaszczyzną symetrii ostrosłupa, a przekrój bryły tą płaszczyzną jest trójkątem równo-bocznym o boku $a$. Wykazać, że ostrosłup ma jeszcze jedną płaszczyznę symetrii i obliczyć promień kuli opisanej na nim.