Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2018 r.

Poziom podstawowy

  1. Promień podstawy stożka obrotowego zmniejszono o $20\%.$ O ile procent trzeba zwiększyć wysokość tego stożka, żeby jego objętość nie uległa zmianie?

  2. Dla jakich wartości parametru $m$ nierówność $$ mx^2+(m+1)x+2m < 0 $$ jest spełniona dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$?

  3. Określić dziedzinę i uprościć następujące wyrażenie: $$ \frac{\left(\sqrt[5]{a^{\frac{4}{3}}}\,\right)^{-\frac{3}{2}}}{\left(\sqrt{a\sqrt[3]{a^2b}}\,\right)^4} : \left[\frac{\sqrt[5]{a^{-4}}}{\left(\sqrt[4]{a\sqrt{b}}\,\right)^{2}}\right]^3. $$ Następnie obliczyć wartość tego wyrażenia dla $\;a=\sqrt{3}+\sqrt{2}\,$ i $\;b=5-2\sqrt{6}$.

  4. Niech $f(x)=x^2.$ Narysować wykres funkcji $g(x) = |f(x+1)-4|$ i określić liczbę rozwiązań równania $g(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

  5. Obliczyć pole koła wpisanego w romb o polu 10 i kącie ostrym $30^\circ.$

  6. Niech $ A = \left\lbrace x\in\mathbb{R}:\: \frac{3}{2x^2+x-6} \geq \frac{1}{2x-3} \right\rbrace$ oraz $ B=\left\lbrace x\in\mathbb{R}:\: \sqrt{x^2-4x+4} < x \right\rbrace.$ Wyznaczyć i narysować na osi liczbowej zbiory $A$, $B$ oraz $A\setminus B,$ $B\setminus A.$

Poziom rozszerzony

  1. Pewna liczba pięciocyfrowa zaczyna się (z lewej strony) cyfrą 8. Jeśli cyfrę tę przestawimy z pierwszej pozycji na ostatnią, to otrzymamy liczbę stanowiąca $16\%$ liczby pierwotnej. Znaleźć tę liczbę.

  2. Określić dziedzinę i uprościć następujące wyrażenie: $$ \frac{ (\sqrt{a}+\sqrt{b} )^2 - 4b}{(a-b)\cdot (\sqrt{\frac{1}{b}}+3\sqrt{\frac{1}{a}}\, )^{-1}} : \frac{a+9b+6\sqrt{ab}}{\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}}. $$ Następnie wyznaczyć jego wartość dla $\;a=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\,$ i $\;b=\sqrt{3}+1$.

  3. Narysować wykres funkcji $f(x)=\min\left\lbrace\frac{2x}{x-1},x^2\right\rbrace.$ Podać wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji $f(x)$ względem początku układu współrzędnych. Określić liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

  4. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $p>0.$ Obliczyć stosunek promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

  5. Dla jakich wartości parametru $m$ suma sześcianów pierwiastków równania $$ x^2+(m-1)x + m = \frac{7}{4} $$ należy do przedziału $[-\frac{1}{2},0)?$

  6. Dane są zbiory $$ A=\left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2:\: 9-4\sqrt{2} \leq x^2+y^2 < 9 + 4\sqrt{2} \right\rbrace $$ oraz $$ B = \left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2:\: x^2+y^2 < 4|x| + 4|y| - 7 \right\rbrace. $$ Narysować starannie zbiór $A\setminus B$ i wyznaczyć jego pole. Zadbać o odpowiednią skalę i czytelność rysunku.