Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2018 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiązać nierówność $x - 1 > \sqrt{x^2-3}.$

2. Rozwiązać równanie $\frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{x}}=0.$

3. Narysować zbiór $\left\lbrace(x,y): -1\leq \log_{\frac{1}{2}}{|x|}+\log_{2}{|y|} \leq 1,\;|x|+|y|\leq 3\right\rbrace$ i obliczyć jego pole.

4. Na prostej $l:2x-y-1=0$ wyznaczyć punkty, z których odcinek o końcach $A(0,1)$ oraz $B(0,3)$ jest widoczny pod kątem $45^{\circ}$.

5. W obszar ograniczony wykresem funkcji kwadratowej i osią $Ox$ wpisano prostokąt o polu 24, którego jeden z boków zawarty jest w osi $Ox$, a dwa wierzchołki leżą na paraboli. Odległość między miejscami zerowymi funkcji wynosi 10. Wyznaczyć wzór tej funkcji, wiedząc, że wierzchołek paraboli leży na osi $Oy$ i jeden z boków prostokąta ma długość 6. Rozwiązanie zilustrować odpowiednim rysunkiem.

6. W ostrosłupie, którego podstawą jest romb o boku $a$, jedna z krawędzi bocznych również ma długość $a$ i jest prostopadła do podstawy. Wszystkie pozostałe krawędzie boczne są równe. Obliczyć objętość, pole powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz sinus kąta nachylenia do podstawy jego pochyłych ścian bocznych.

Poziom rozszerzony

1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji $f(x)=\log_2{\left(\sqrt{x-1-\sqrt{x^2-3x-4}}-1\right)}.$

2. Rozwiązać równanie $\sin^4{x}+\cos^4{x}=\sin{x}\cos{x}.$

3. Narysować zbiór $\left\lbrace(x,y): |x|+|y|\leq 6,\;|y|\leq 2^{|x|},\; |y|\geq\log_{2}{|x|}\right\rbrace$ i napisać równania jego osi symetrii. Podać odpowiednie uzasadnienie.

4. Niech $f(x)=\frac{2x-1}{x-2},\;g(x)=\left(\sqrt{2}\right)^{\log_2{(2x-1)^2}+4\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2-x}}}.\;$ Narysować wykres funkcji $h(x)=\mbox{max}\left\lbrace f(x), \ g(x)\right\rbrace.$ Czy można podać wzór funkcji $h(x)$, wykorzystując jedynie $f(x)$?

5. Punkt $A(1,1)$ jest wierzchołkiem rombu o polu 10. Przekątna $AC$ rombu jest równoległa do wektora $\vec{v}=[1,2].\,$ Wyznaczyć współrzędne pozostałych wierzchołków rombu, wiedząc, że jeden z nich leży na prostej $y=x-2$.

6. W ostrosłupie, którego podstawą jest romb o boku $a$, jedna z krawędzi bocznych również ma długość $a$ i jest prostopadła do podstawy. Wszystkie pozostałe krawędzie boczne są równe. Wyznaczyć cosinusy kątów płaskich przy wierzchołku każdej ściany bocznej ostrosłupa oraz cosinusy kątów między jego ścianami bocznymi .