Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2018 r.

Poziom podstawowy

1. Narysować wykres funkcji $f(x) = 2\cos x - |\cos x|$ i rozwiązać nierówność $f(x)< -\frac{3}{2}.$

2. Znaleźć punkt należący do paraboli $y^2 = 4x,$ którego odległość od punktu $A(3,0)$ jest najmniejsza.

3. Dany jest punkt $A(2,1)$ oraz dwie proste: $$ p:\: x + y +2 = 0, \quad q:\: x - 2y - 4 = 0.$$ Znaleźć taki punkt $B$ na prostej $q$, żeby środek odcinka $AB$ leżał na prostej $p$. Sporządzić rysunek.

4. Logarytmy liczb $1,3^x-2,3^x+4$ tworzą ciąg arytmetyczny (w podanej kolejności). Obliczyć $x$.

5. Kolejne środki boków czworokąta wypukłego $ABCD$ połączono odcinkami otrzymując czworokąt $EFGH$. Jaką figurą jest czworokąt $EFGH$? Odpowiedź uzasadnić. Obliczyć pole czworokąta $ABCD$, wiedząc, że pole czworokąta $EFGH$ jest równe 5.

6. Rozwiązać nierówność $$ f(x) \leq \frac{4}{f(x)},$$ gdzie $f(x)= -\frac{4}{3}x^2 + 2x +\frac{4}{3}.$

Poziom rozszerzony

1. Narysować wykres funkcji $f(x)=2\cos^2 x - \sin (2x-\frac{\pi}{2})$ i rozwiązać nierówność $|f(x)|<2.$

2. Znaleźć punkt należący do paraboli $y^2=2x,$ którego odległość od prostej $x-2y+6=0$ jest najmniejsza.

3. Wielomian $w(x) = x^4 + a x^3 + bx^2 + cx + d$ jest podzielny przez trójmian $x^2-x-2,$ a jego wykres jest symetryczny względem osi $0y.$ Wyznaczyć wartości parametrów $a,b,c,d$ i rozwiązać nierówność $w(x+1)\leq w(x-2).$

4. Rozwiązać nierówność $$ \log x + \log^3 x + \log^5 x + ... \leq 2\sqrt{5}. $$

5. Punkt $S$ jest środkiem boku $AB$ w trójkącie $ABC$. Ponadto $AC \neq BC$ oraz $\angle BAC + \angle SCB = 90^\circ.$ Niech $D$ będzie punktem przecięcia symetralnej $AB$ z prostą $AC.$ Udowodnić, że na czworokącie $SBDC$ można opisać okrąg. Dlaczego musimy założyć, że $AC \neq BC$?

6. Wyznaczyć równanie zbioru wszystkich środków tych cięciw paraboli $y=x^2,$ które przechodzą przez punkt $A(0,2).$