Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2018 r.

Poziom podstawowy

  1. W zawodach szachowych bierze udział pewna ilość zawodników, przy czym każdy zawodnik gra z każdym innym dokładnie raz. Ilu było zawodników, jeśli wiadomo, że rozegrano 55 partii? Ile rozegranoby partii w tych zawodach, gdyby jeden z zawodników zrezygnował z zawodów rozegrawszy cztery partie?

  2. Dane są trzy wektory: $\vec{a}=\left[1,-2\right]$, $\vec{b}=\left[-2, -1\right]$, $\vec{c}=\left[3, 4\right]$. Dla jakich rzeczywistych parametrów $t$ i $s$, wektory $\overrightarrow{AB}= t \vec{a}$, $\overrightarrow{BC}= s \vec{b}$ oraz $\overrightarrow{CA}= \vec{c}$ tworzą trójkąt $ABC$? Znaleźć współrzędne środka ciężkości otrzymanego trójkąta, przyjmując $A(0,0)$. Sporządzić staranny rysunek.

  3. Wartość użytkowa pewnej maszyny maleje z roku na rok o tę samą wielkość. Obliczyć czas, w jakim maszyna straci całkowitą wartość użytkową, jeżeli wiadomo, że jej wartość po 25 latach pracy była trzy razy mniejsza niż jej wartość po 15 latach.

  4. Na okręgu o promieniu długości $r$ opisano trapez prostokątny, którego najdłuższy bok ma długość $3r$. Obliczyć pole tego trapezu. Sporządzić staranny rysunek.

  5. Obliczyć pierwiastek równania $$ \frac{x-m}{4-6x}-\frac{2x+m}{2x+1}=\frac{2-m-7x^2}{6x^2-x-2} $$
    wiedząc, że jest on o 2 większy od wartości parametru $m$.

  6. Z czworościanu foremnego odcinamy cztery naroża, których krawędziami bocznymi są połówki krawędzi czworościanu. Jaki wielościan otrzymujemy? Obliczyć stosunek jego objętości i pola powierzchni do objętości i pola powierzchni czworościanu. Sporządzić staranny rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. W zawodach szachowych bierze udział pewna ilość zawodników, przy czym każdy zawodnik gra z każdym innym zawodnikiem dokładnie raz. Ilu było zawodników tych zawodów, jeśli rozegrano 84 partie, a dwóch zawodników wycofało się z zawodów po rozegraniu przez każdego trzech partii?

  2. Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt $45^\circ$ i dzielącą ten trójkąt na dwie figury. Obliczyć stosunek pól tych figur (większej do mniejszej). Wynik przedstawić w najprostszej postaci.

  3. Dla jakich wartości parametru $m$, punkty $A(m, -\frac{3}{2})$, $B(2,0)$ oraz $C(4,-m)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$? Zbadać jak zmienia się pole tego trójkąta w zależności od $m$. Znaleźć, o ile istnieją, najmniejszą i największą wartość tego pola dla $m\in \left[-2,2\right]$.

  4. Z miast $A$ i $B$ odległych o 119 km wyruszają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści, przy czym drugi rowerzysta startuje dwie godziny po wyjeździe pierwszego. Pierwszy rowerzysta, ruszający z miasta $A$, w ciągu pierwszej godziny przejeżdża 20 km i w każdej następnej godzinie przejeżdża o 2 km mniej niż w poprzedniej. Natomiast drugi rowerzysta w ciągu pierwszej godziny przejeżdża 10 km i w każdej następnej godzinie przejeżdża o 3 km więcej niż w poprzedniej. Po ilu godzinach jazdy się spotkają i w jakiej odległości będą wtedy od obu miast?

  5. Wyznaczyć sumę pierwiastków równania $$2^{(m+1)x^2-4mx+m+\frac{3}{2}}=\sqrt{2}$$ jako funkcję parametru $m$. Wyznaczyć przedziały, na których funkcja ta jest rosnąca.

  6. Z sześcianu odcinamy osiem naroży (małych czworościanów), których wierzchołkami są wierzchołki sześcianu, a bocznymi krawędziami - połówki krawędzi sześcianu. Jaki wielościan otrzymujemy? Obliczyć stosunek jego objętości i pola powierzchni do objętości i pola powierzchni sześcianu. Znaleźć odległość między dwoma najbardziej odległymi wierzchołkami tego wielościanu. Sporządzić staranny rysunek.