Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2019 r.

Poziom podstawowy

1. Znaleźć stuelementowy ciąg arytmetyczny, w którym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest dwa razy większa od sumy wyrazów o numerach parzystych i o 50 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów.

2. Rozwiązać układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{ccr} x^2+1&=&2^{y-1},\cr y-2&=&\log_2{(x+2)}. \end{array} \end{cases}$$

3. Narysować wykres funkcji $f(x)=x|x|-4|x|+3$ i określić liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

4. W romb $ABCD$ o kącie ostrym $\alpha$ wpisano czworokąt, którego boki są równoległe do przekątnych rombu. Jakie jest możliwie największe pole takiego czworokąta?

5. Znaleźć równania wspólnych stycznych do wykresów funkcji $$f(x)=-x^2+2x \mbox{ i } g(x)=x^2+1.$$

6. W stożek o promieniu podstawy $R$ wpisano stożek o osiem razy mniejszej objętości. Wysokość małego stożka jest zawarta w wysokości dużego stożka, jego wierzchołek jest w środku podstawy, a okrąg ograniczający podstawę małego stożka jest zawarty w powierzchni bocznej dużego stożka. Obliczyć $\frac{r}{R},$ gdzie $r$ oznacza promień podstawy stożka wpisanego.

Poziom rozszerzony

1. Rozwiązać układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{ccr} x^{\log_2{y}-1}&=&16,\cr (2y)^{\log_2{x}-1}&=&16. \end{array} \end{cases}$$

2. Wyznaczyć równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, które są prostopadłe do prostej $x+3y+1=0.$

3. Granicą ciągu o wyrazie ogólnym $\;a_n=n^2-\sqrt{n^4-an^2+bn}\;$ jest większy z pierwiastków równania $$\;x^{\log_2{x}}-3=4x^{\log_{\frac{1}{2}}{x}}.$$ Wyznaczyć parametry $a$ i $b$.

4. Na boku $BC$ trójkąta równobocznego obrano punkt $D$ tak, że promień okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$ jest dwa razy mniejszy niż promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABD$. W jakim stosunku punkt $D$ dzieli bok $BC$?

5. Rozwiązać nierówność $$1+\frac{\sin{x}}{\sqrt{3}+\sin{x}}+\left(\frac{\sin{x}}{\sqrt{3}+\sin{x}}\right)^2+\left(\frac{\sin{x}}{\sqrt{3}+\sin{x}}\right)^3+\cdots\leq\cos{x},$$ której lewa strona jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

6. Jakie wymiary ma walec o możliwie największej objętości wpisany w sześcian o boku $a$ w taki sposób, że jego oś jest zawarta w przekątnej sześcianu, a każda z podstaw jest styczna do trzech ścian wychodzących z jednego wierzchołka.