Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2019 r.

Poziom podstawowy

  1. W pierwszej godzinie rowerzysta $A$ jedzie z prędkością $25\ km/h$, a w każdej kolejnej godzinie jedzie ze stałą prędkością mniejszą o $20\%$ w stosunku do prędkości w poprzedniej godzinie. Natomiast rowerzysta $B$ jedzie w pierwszej godzinie z prędkością $8\ km/h$, a w każdej kolejnej godzinie jedzie ze stałą prędkością większą o $20\%$ w stosunku do prędkości w poprzedniej godzinie. Obaj startują równocześnie z tego samego punktu. Który z nich dotrze prędzej do celu leżącego w odległości $100\ km$ od punktu startu? Po której godzinie jazdy odległość między nimi w zaokrągleniu do pełnych kilometrów będzie największa i ile będzie wynosić? Odpowiedzi uzasadnić bez stosowania obliczeń przybliżonych.

  2. W skarbonce jest $5$ monet $5\ zł$ i $5$ monet $2\ zł$. Kuba wylosował ze skarbonki $6$ monet. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wystarczy mu pieniędzy na kupno książki w cenie $20\ zł$.

  3. Rozwiązać nierówność $$2\log_2\left(3-\sqrt{2^{x+1}-7}\,\right)>x.$$

  4. Dla jakich wartości parametru $m$ liczby $x_0,y_0$, spełniające układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{ccl} x+my &=& 2\cr 3x+2y&=& m. \end{array} \end{cases}$$ są odpowiednio cosinusem i sinusem tego samego kąta $\alpha\in[0,\pi]$. Podać $x_0$ i $y_0$ dla znalezionych wartości parametru $m$.

  5. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt pomiędzy ścianami bocznymi wynosi $2\alpha$. Niech $P$ będzie spodkiem wysokości ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną. Płaszczyzna równoległa do podstawy przechodząca przez $P$ dzieli ostrosłup na dwie części, z których górna ma objętość $V$. Obliczyć objętość oraz krawędź podstawy ostrosłupa. Podać dziedzinę kąta $\alpha$.

  6. Kąty przy podstawie $AB$ trójkąta są równe $\alpha$ oraz $2\alpha$, $\alpha<\frac{\pi}{4}$, a środkowa boku $AB$ ma długość $d$. Znaleźć długości boków trójkąta. Następnie podstawić do wyniku ogólnego dane $d=\sqrt{11}$ oraz $\displaystyle\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{4}$ i wykonać obliczenia.

Poziom rozszerzony

  1. Rozwiązać nierówność $$\displaystyle\sqrt{\sin 2x-\cos 2x+1}\leq 2\sin x.$$

  2. Ze zbioru ${1,2,...,3n},\;n\geq 1,$ wylosowano bez zwracania dwie liczby. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma otrzymanych liczb jest mniejsza od $4n$ i co najmniej jedna z nich jest większa od $n$.

  3. Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnić prawdziwość wzoru $$1^4+2^4+...+n^4+\frac{1^2+2^2+...+n^2}{5}=\frac{n^2(n+1)^2(2n+1)}{10},\;\;n\geq 1.$$

  4. Dana jest funkcja $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x$. Styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $A(1,-1)$ przecina wykres w punkcie $B(x_1,f(x_1))$, a styczna do jej wykresu w punkcie $B$ przecina wykres w punkcie $C(x_2,f(x_2))$. Znaleźć punkty $B$ i $C$ oraz obliczyć tangensy kątów trójkąta $\triangle ABC$. Sporządzić rysunek, dobierając odpowiednie skale na obu osiach.

  5. W czworokącie $ABCD$ o bokach $|AB|=a,\;|AD|=2a$ mamy $$\stackrel{\longrightarrow}{AC}=2\stackrel{\longrightarrow}{AB}+\frac{1}{2}\stackrel{\longrightarrow}{AD}$$ oraz $$\cos\angle BCD=\frac{1}{4}.$$ Wykazać, że na tym czworokącie można opisać okrąg. Obliczyć promień tego okręgu. Sporządzić rysunek.

  6. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku $2\alpha,\;\alpha<\pi/4$, i podstawie $2a$. Dwie ściany boczne są przystającymi do siebie trójkątami podobnymi, ale nie przystającymi, do podstawy ostrosłupa. Znaleźć cosinus kąta płaskiego przy wierzchołku trzeciej ściany bocznej oraz objętość ostrosłupa. Narysować starannie siatkę tego ostrosłupa dla $\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{5}$.