Logo PWr

Korespondencyjny Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2019 r.

Poziom podstawowy

  1. Pan Kowalski założył dwie lokaty, wpłacając do banku w sumie 10120 zł. Pierwsza z nich ma oprocentowanie $12\%$ w skali roku z półroczną kapitalizacją odsetek, a druga daje $18\%$ zysku, przy czym odsetki są naliczane dopiero po roku. Okazało się, że na obu kontach przybyła mu taka sama kwota. Jakie sumy wpłacił na każdą z lokat i jaki osiągnął zysk? Jaki byłby zysk pana Kowalskiego, gdyby na każdą z lokat wpłacił tę samą sumę 5060 zł?

  2. Niech $A=\left\lbrace x\in\mathbb{R}: \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5-x}}\geq\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x+1}}\right\rbrace$ oraz $B=\left\lbrace x\in\mathbb{R}:|x|+|x-1|\geq 3\right\rbrace$.

    Znaleźć i zaznaczyć na osi liczbowej zbiory $A$, $B$ oraz $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

  3. Uprościć wyrażenie (dla tych $a,b$, dla których ma ono sens) $$\left( \frac{1}{b}+\frac{2}{\sqrt[6]{a^2 b^3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}\right): \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt{b}}{b\sqrt[3]{a^2}}.\;$$ Następnie obliczyć jego wartość dla $a=5\sqrt{5}$ i $b=14-6\sqrt{5}$.

  4. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu. Styczna w punkcie $A$ i prosta, na której leży cięciwa $BC$ przecinają się w punkcie $P$ odległym od $A$ o $4\sqrt{3}$. Wyznaczyć promień okręgu oraz długość cięciwy $BC$, wiedząc, że pole trójkata $ABP$ jest równe $8\sqrt{3}$.

  5. Pole trójkąta równobocznego $ABX$ zbudowanego na przeciwprostokątnej $AB$ trójkąta prostokątnego $ABC$ jest dwa razy większe od pola wyjściowego trójkąta. Niech $D$ będzie środkiem boku $AB$. Wykazać, że trójkąty $ABC$ i $ADX$ są przystające.

  6. Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe niż pole jego podstawy. W stożek wpisano walec, którego dolna podstawa jest zawarta w podstawie stożka, a przekrój płaszczyzną zawierającą oś stożka jest kwadratem. Wyznaczyć stosunek objętości walca do objętości stożka.

Poziom rozszerzony

  1. Określić dziedzinę i uprościć następujące wyrażenie $$\left[\frac{y\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt{y}} - \frac{x-y\sqrt{y}}{x+y\sqrt{y}}\cdot\frac{y\sqrt[3]{x^2}-y\sqrt{y}\sqrt[3]{x}+y^2}{\sqrt[3]{x^2}-y}\right]:\frac{y^2}{\sqrt[3]{x}+\sqrt{y}}.$$ Następnie wyznaczyć jego wartość dla $\;x=6\sqrt{3}-10\,$ i $\;y=12-6\sqrt{3}$.

  2. Wyznaczyć sinus kąta przy wierzchołku $C$ w trójkącie równoramiennym, w którym środkowe ramion $AC$ i $BC$ przecinają się pod kątem prostym.

  3. Narysować obszar $D= \left\lbrace (x,y):\,|y|\leq x\leq 4-y^2\right\rbrace$. Obliczyć pole kwadratu, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych, a wszystkie wierzchołki leżą na krzywej ograniczającej obszar $D$.

  4. W trójkącie $ABC$ dane są: $|BC|=a,\;|AB|=c,\;\angle{ABC}=\beta.$ Okrąg przechodzący przez punkty $B$ i $C$ przecina boki $AB$ i $AC$ w takich punktach $D$ i $E$, że pole czworokąta $BCDE$ stanowi $75\%$ pola trójkąta $ABC$. Wyznaczyć obwód i pole czworokąta.

  5. Basen można napełnić, otwierając którykolwiek z trzech zaworów. Otwarcie pierwszych dwu pozwala napełnić basen w czasie o 2 godziny dłuższym niż otwarcie drugiego i trzeciego zaworu, natomiast otwarcie zaworów pierwszego i trzeciego pozwala napełnić basen w czasie dwa razy krótszym niż otwarcie dwu pierwszych. Napełnienie basenu, gdy otwarte są wszystkie trzy zawory, trwa 2 godziny 40 minut. Ile trwa napełnienie basenu, gdy otwarty jest tylko jeden zawór?

  6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekrój płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwu przeciwległych krawędzi podstawy jest trójkątem równobocznym. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jedną z krawędzi podstawy prostopadłą do przeciwległej ściany bocznej. Obliczyć stosunek objętości brył, na jakie płaszczyzna ta dzieli ostrosłup.