Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2020 r.

Poziom podstawowy

  1. Załóżmy, że mamy $12$ kul białych i $9$ kul czarnych. Na ile sposobów można ustawić te kule w rzędzie w taki sposób, aby żadna czarna kula nie sąsiadowała z czarną? Na ile różnych sposobów można ustawić te kule w rzędzie w taki sposób, aby żadna czarna kula nie sąsiadowała z czarną, jeśli kule białe ponumerujemy kolejnymi liczbami parzystymi, a kule czarne - kolejnymi liczbami nieparzystymi?

  2. Ścianki kostki do gry oznaczono liczbami: -3, -2, -1, 1, 2, 3. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy dwóch rzutach tą kostką: a) otrzymana suma liczb wynosi 2; b) wartość bezwzględna sumy liczb jest równa co najwyżej 3?

  3. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 2, wiedząc, że wyrazy: pierwszy, trzeci i jedenasty w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Ile pierwszych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymana suma była większa niż 1000?

  4. W zbiorze $\left[0, 2 \pi\right]$ rozwiązać nierówność $$\sin{x} + \sin{3x} \geq \cos{x} + \cos{3x}.$$

  5. Znaleźć równania okręgów, które są styczne do obu osi układu współrzędnych oraz do prostej o równaniu $x+y=4$. Wykonać rysunek.

  6. Pokazać, że stosunek objętości stożka do objętości wpisanej w ten stożek kuli jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni kuli.

Poziom rozszerzony

  1. Na ile sposobów można wybrać 5 kart z talii 52 kart tak, aby mieć przynajmniej po jednej karcie w każdym z czterech kolorów? A jaka jest odpowiedź, gdy wybieramy 6 kart z talii?

  2. Rozpatrujemy zbiór ciągów $n-$elementowych o wyrazach -1, 0 lub 1. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany ciąg ma co najwyżej jeden wyraz równy 0 i suma jego wyrazów równa jest 0.

  3. Suma wszystkich współczynników wielomianu $W_n(x)$ jest równa $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}\right),$$ a suma współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa jest sumie współczynników przy jej parzystych potęgach. Wyznaczyć resztę $R(x)$ z dzielenia wielomianu $W_n(x)$ przez dwumian $x^2-1$.

  4. Rozwiązać nierówność $$\sin{x} + \sin{2x} + \sin{3x} \geq \cos{x} + \cos{2x} + \cos{3x}.$$

  5. Zbadać przebieg zmienności funkcji $f(x)= \frac{4x^2-3x-1}{4x^2+1}$ i naszkicować jej wykres. Na podstawie sporządzonego wykresu określić liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

  6. W stożku pole podstawy, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek i pole powierzchni bocznej stożka tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznaczyć kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy. Wykonać rysunek.