Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2020 r.

Poziom podstawowy

  1. W pierwszym naczyniu było $a$ litrów $p$-procentowego kwasu siarkowego, w drugim natomiast $b$ litrów $q$-procentowego kwasu siarkowego. Z każdego z naczyń odlano czwartą część objętości roztworu, a następnie roztwór odlany z drugiego naczynia wlano do pierwszego, a odlany z pierwszego wlano do drugiego naczynia. Okazało się, że po wymieszaniu stężenia roztworów w obu naczyniach były równe. Wyznacz stosunek stężeń wyjściowych roztworów.

  2. Uprość następujące wyrażenie, określiwszy uprzednio jego dziedzinę: $${1\over \sqrt[6]{x^3y^2}-\sqrt[6]{y^5}}\left(\sqrt[3]{x^2}-{y\over\sqrt[3]{x}}\right)+{1\over \sqrt{x}+\sqrt{y}}:{\sqrt[3]{xy}\over x-y}$$ Oblicz wartość tego wyrażenia, przyjmując $\;x=3+2\sqrt{2}\,$ i $\;y=1+\sqrt{2}$.

  3. Narysuj wykres funkcji $f(x) = (\sin{x} +\frac{1}{2}\cos{x})^2+(\frac{1}{2}\sin{x}+\cos{x})^2.$ Wyznacz zbiór jej wartości i rozwiąż nierówność $ f(x)\geq\frac{5}{4}.$

  4. Niech $A=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:\; |x|\leq 2, |y|\leq 2\right\rbrace$ oraz $B=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:\;|x-y|\leq |x|+1\right\rbrace$. Zaznacz na płaszczyźnie zbiory $A\setminus B$ oraz $A\setminus(A\setminus B)$.

  5. W kwadrat wpisano trójkąt równoboczny w taki sposób, że jeden z jego wierzchołków jest w wierzchołku kwadratu, a dwa pozostałe leżą na przeciwległych bokach kwadratu. Wyznacz stosunek pola trójkąta do pola kwadratu.

  6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym podstawa ma długość $a$, a krawędź boczna jest do niej nachylona pod kątem $\alpha$. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej bryły.

Poziom rozszerzony

  1. W pierwszym naczyniu było $a$ litrów $p$-procentowego kwasu siarkowego, w drugim natomiast $b$ litrów $q$-procentowego kwasu siarkowego. Z obu naczyń odlano równe objętości roztworów, a następnie roztwór odlany z drugiego naczynia wlano do pierwszego, a odlany z pierwszego wlano do drugiego naczynia. Okazało się, że po wymieszaniu stężenia roztworów w obu naczyniach były równe. Jakie ilości roztworów odlano z każdego z naczyń?

  2. Uprość wyrażenie (dla tych $x,y$, dla których ma ono sens) $$\left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{3\sqrt[3]{xy}}{x-y}-\frac{\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}\right)\cdot \frac{x-y}{4\sqrt[3]{xy}}.$$ Następnie oblicz jego wartość dla $x=5\sqrt{2}-7$ i $y=5\sqrt{2}+7$.

  3. Narysuj wykres funkcji $f(x)=\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}$. Wyznacz zbiór jej wartości i rozwiąż nierówność $f(x)\geq 1.$

  4. Niech $A=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:\; |x-1|+|y-1|\leq 3\right\rbrace$ oraz $B=\left\lbrace(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;|x-y|\leq |x+y|\right\rbrace$. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór $A\cap B$ i oblicz jego pole.

  5. W romb $ABCD$ o boku $a$ i kącie ostrym $\alpha$ wpisano trójkąt $APQ$ tak, że punkt $P$ leży na boku $BC$ a punkt $Q$ na boku $DC$, przy czym $|PC|=|DQ|=x$. Dla jakiego $x$ pole trójkąta jest najmniejsze?

  6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $\alpha$. Wyznacz kąt między ścianami bocznymi.