Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2020 r.

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $\frac{1}{3}n^4-\frac{2}{3}n^3-\frac{1}{3}n^2+\frac{2}{3}n\;$ jest podzielna przez 8.
Podaj wzór funkcji kwadratowej, której wykres jest obrazem paraboli $f(x)=-4x(x-1)$ w symetrii względem punktu $(0,2)$. Uzasadnij poprawność znalezionego wzoru i sporządź wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.
Wyznacz wielomian $\,f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ wiedząc, że jego pierwiastki są całkowite i tworzą ciąg geometryczny, a wykres przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnej $-8$.
Narysuj wykres funkcji $f(x)=\frac{|x-1|}{|x|-1}$. Wyznacz zbiór jej wartości i rozwiąż nierówność $|f(x)|\leq 2$.
W zależności od parametru $a$ określ liczbę rozwiązań układu $$\begin{cases} \begin{array}{rcl} x^2+y^2&=&1\cr |2x-y|&=&a. \end{array} \end{cases} $$ Podaj interpretację graficzną dla $a=\sqrt{5}$, $a=1$ oraz $a=3$.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym najmniejszy przekrój płaszczyzną zawierającą wysokość, prostopadłą do płaszczyzny podstawy, jest trójkątem równobocznym, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jedną z krawędzi podstawy prostopadłą do przeciwległej ściany bocznej. Wyznacz stosunek objętości brył, na jakie płaszczyzna ta podzieliła ostrosłup.

Trzeci składnik rozwinięcia dwumianu $\left(\sqrt[3]{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{n}$ ma współczynnik równy 45. Wyznacz wszystkie składniki tego rozwinięcia, w których $x$ występuje w potędze o wykładniku całkowitym.
Wykres wielomianu $w(x)=x^3+ax^2+bx+c$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,-6)$ i jest symetryczny względem punktu $(-1,-2)$. Wyznacz współczynniki $a,b,c$ oraz pierwiastki tego wielomianu. Sporządź wykres.
W zależności od parametru $m$ określ liczbę rozwiązań równania $$4^{x-1}-2^{x+1}\log_2 m +1=0$$.
Narysuj wykres funkcji $$f(x)=1-\frac{\log_2|x-1|}{1-\log_2|x-1|}+\left(\frac{\log_2|x-1|}{1-\log_2|x-1|}\right)^2-\left(\frac{\log_2|x-1|}{1-\log_2|x-1|}\right)^3+...,$$ gdzie prawa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.
W zależności od parametru $a$ określ liczbę rozwiązań układu $$\begin{cases} \begin{array}{rcl} xy-y&=&1\cr x^2+y^2-2x&=&a+1. \end{array} \end{cases}$$ Podaj interpretację graficzną dla $a=0$, $a=-1$ oraz $a=7$.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy. Ostrosłup ten podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły o tej samej objętości. Wyznacz stosunek objętości kul wpisanych w każdą z tych brył. Sporządź rysunek.