Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2021 r.

Poziom podstawowy

1. Jeden z wierzchołków trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg $x^2+y^2=2$ znajduje się w punkcie $P(1,1)$. Wyznacz położenie pozostałych wierzchołków i sporządź odpowiedni rysunek.

2. Zbadaj, dla jakiej wartości parametru $\alpha\in [0,2\pi]$ liczba $0$ jest największą wartością funkcji $$ f(x)=x^2\cos\alpha+x(1+\cos2\alpha)-1$$ w całej jej dziedzinie.

3. Wyznacz te argumenty funkcji $$g(x)=16\cdot 2^{x^4}\cdot 243^{x^2}-81\cdot 3^{x^4}\cdot 32^{x^2},$$ dla których funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne.

4. Zakładając, że $x\in [0,2\pi]$, rozwiąż nierówność trygonometryczną $$ 16\sin^4\frac{x}2-16\sin^2\frac{x}2+3\geq0. $$

5. Wyznacz wszystkie punkty wspólne krzywych $$ y=\log_{\sqrt{2}}\sqrt{2x-1}+\log_{\frac12}\frac1{3x+1}\qquad\mbox{oraz}\qquad y=1+2\log_4(x+1).$$

6. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=\Big|2-\big|2-2^{|x|}\big|\Big| $$ i precyzyjnie opisz zastosowaną metodę jego konstrukcji. Na podstawie rysunku wskaż lokalne ekstrema funkcji oraz określ jej najmniejszą i największą wartość w całej dziedzinie, o ile one istnieją.

Poziom rozszerzony

1. Jeden z wierzchołków sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg $x^2+y^2=2$ znajduje się w punkcie $P(-1,-1)$. Wyznacz położenie pozostałych wierzchołków i sporządź odpowiedni rysunek.

2. Rozwiąż nierówność $$ 2^{3x^3+x^2-3x+1}\cdot 3^{6x^4-x^2}\geq 3^{x^3+6x^2-x-1}\cdot 4^{3x^4+x^3-3x^2-x+1}.$$

3. Określ dziedzinę i zbadaj, dla jakich argumentów funkcja $$ f(x)=\log_{x-1}(x+2)+\log_{x+2}\frac1{x-1} $$ przyjmuje wartości dodatnie.

4. Rozwiąż nierówność $$ 3-3\sin^2 x+3\sin^4 x-3\sin^6 x+\ldots\leq \frac{16\cos^2x-16\cos^4x}{2-\cos^2x},$$ której lewa strona jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

5. Na stożku o promieniu podstawy $R$ opisano ostrosłup prawidłowy czworokątny, a w stożek ten wpisano ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Stosunek pól powierzchni bocznych obu ostrosłupów wynosi $k$. Wyznacz zakres zmienności parametru $k$, a dla $k=\frac{11}8$ oblicz wysokość stożka i wykonać staranne rysunki rozważanych brył.

6. Określ dziedzinę, wyznacz wszystkie asymptoty, przedziały monotoniczności oraz wszystkie lokalne ekstrema funkcji $$ f(x)=\frac{x^3+x^2-x+2}{x^2+x-2}.$$ Sporządź staranny wykres.