Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2021 r.

Poziom podstawowy

1. Wykaż, że dla dowolnych liczb $a,\;b$ różnych od zera, posiadających ten sam znak, prawdziwa jest nierówność $$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}>\frac{8}{5}.$$

2. Wyznacz $\tg\alpha$, wiedząc, że $\alpha$ jest kątem ostrym spełniającym równanie $$ \frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=2\ctg\alpha.$$

3. Spośród 10 białych i 2 czarnych kul losujemy bez zwracania $m$ kul. Jaka jest najmniejsza liczba $m$, dla której prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest przynajmniej jedna czarna, przekracza $\frac{1}{2}$?

4. Wielomian $W(x)=2x^3+px^2+qx-2$ ma współczynniki całkowite i pierwiastek całkowity, a reszta z jego dzielenia przez dwumian $x-2$ jest równa 10. Dla jakich $x$ przyjmuje on wartości dodatnie?

5. Odcinek o końcach $A(1,0)$ i $B(2,1)$ jest podstawą trójkąta równoramiennego, którego trzeci wierzchołek leży na prostej $y=2x+1$. Podaj równania prostych zawierających ramiona tego trójkąta i oblicz jego pole.

6. Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta równoramiennego $ABC$ obrano punkty $M$ i $N$, których rzutami prostokątnymi na podstawę $AB$ są punkty $S$, $T$. Wykaż, że $|AB|=2|ST|$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|AM|=|CN|$.

Poziom rozszerzony

1. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,\,b$ równość $a^3-2b^3=ab(a+b)$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a=2b$.

2. Rozwiąż równanie $\cos{x}-\sin{x}=\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}+1}.$

3. Liczba dwuelementowych podzbiorów zbioru $A$ jest 3 razy większa niż liczba dwuelementowych podzbiorów zbioru $B$. Liczba dwuelementowych podzbiorów zbioru $A$ nie zawierających ustalonego elementu $a!\in!A$ jest sumą liczby dwuelementowych podzbiorów zbioru $B$ i liczby dwuelementowych podzbiorów zbioru $B$, do którego dodano jeden element. Ile elementów ma każdy z tych zbiorów? Ile każdy z tych zbiorów ma podzbiorów trzyelementowych?

4. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=x^4+x^3+px^2+qx+2$ przez $(x^2+1)$ jest równa $(-2x+6)$. Rozwiąż nierówność $W(x)>0$.

5. Dwa boki trójkąta zawierają się w prostych $2x-y=0$ i $x-2y=0$, a proste zawierające jego wysokości przecinają się w punkcie $S(5,-2)$. Wyznacz wierzchołki trójkąta i oblicz jego pole.

6. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem środków okręgów, które są styczne do prostej $x=2$ i do okręgu $x^2+2x+y^2-2y+1=0.$