Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Lista zadań do wydruku - PDF

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2026 r.

Poziom podstawowy

1. Właściciel sklepu elektronicznego sprzedał połowę posiadanych smartfonów pewnej firmy, po czym, ze względu na słabe wyniki sprzedaży, obniżył ich cenę o $40\%$ i sprzedał jeszcze połowę pozostałych sztuk. Dopiero gdy ustalił ich cenę na poziomie $20\%$ ceny wyjściowej, udało mu się pozbyć posiadanego zapasu tego sprzętu. Ile procent zaplanowanego przychodu stanowi kwota uzyskana ze sprzedaży? Po ile powinien był sprzedać pierwszą partię towaru, by jednokrotna obniżka ich ceny o $40\%$ pozwoliła na sprzedaż wszystkich smartfonów i uzyskanie zaplanowanego początkowo przychodu ze sprzedaży?

2. Reszty z dzielenia liczb naturalnych $a$ i $b$ przez 5 są odpowiednio równe 3 i 2. Jakie są reszty z dzielenia przez 5 liczb $ab$ i $a^2-b^2$?

3. Porównaj liczby : $a=12,(1)-11,(8),\;\;\;b=\frac{\sqrt{\log_{\sqrt{3}}{\left(\frac{1}{9}\right)}\cdot\log_{\frac{1}{3}}{\sqrt[4]{27}}}}{\log_{\sqrt[3]{3}}{27}},\;\;\;c=\frac{(\sqrt{2})^{11}\sqrt[4]{3}}{\bigl(\frac{1}{4}\bigr)^{-\frac{5}{2}}\cdot 27^{\frac{3}{4}}}.$

4. W trójkąt równoboczny wpisany jest kwadrat tak, że jeden z boków kwadratu jest zawarty w jednym z boków trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki kwadratu leżą na pozostałych bokach trójkąta. Oblicz stosunek pola kwadratu do pola trójkąta.

5. Narysuj wykres funkcji $f(x)=|x-1|+|x-3|.\,$ Dla jakiego $A$ pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $g(x)=A-f(x)$ oraz osią $Ox$ jest równe 6? Dla znalezionego $A$ narysuj wykres funkcji $g(x)$.

6. Podstawą ostrosłupa o objętości 144 jest kwadrat, a jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy i ma długość dwa razy większą niż długość krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Poziom rozszerzony

1. Basen można opróżnić, odkręcając którykolwiek z trzech zaworów. Odkręcając pierwszy z nich, potrzebujemy do opróżnienia basenu 4 godziny więcej niż odkręcając drugi zawór. Natomiast odkęcenie trzeciego zaworu pozwala opróżnić basen dwa razy szybciej niż odkręcając pierwszy. Odkręcenie wszystkich trzech zaworów jednocześnie pozwala opróżnić basen w czasie 2 godzin 40 minut. W jakim czasie basen jest opróżniany przez odkręcenie każdego z zaworów z osobna?

2. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $0<x<y$ spełniona jest nierówność $$\frac{1}{x}+\frac{x}{y^2}<\frac{1}{y}+\frac{y}{x^2}.$$

3. Dane są liczby $$A=\lim\limits_{n\to\infty}{\frac{4!{n+1\choose n-1}\cdot n!}{n+(n+2)!}},\;\;B=\log_{\sqrt{3}}{\left(\frac{1}{9}\right)\cdot}\log_{\frac{1}{3}}{\sqrt[4]{729}}.$$ Wyznaczyć sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, którego trzecim wyrazem jest $A$, a piątym $B$. Ile wyrazów tego ciągu należy wziąć, by ich suma przekroczyła 99\% sumy wszystkich wyrazów?

4. Niech $$f(x) = \begin{cases} \begin{array}{rcl} |x^{2}+2x|& \mbox{dla} & x\leq 1,\cr \frac{4}{x}-1&\mbox{dla} & x>1. \end{array} \end{cases}$$ a) Narysuj wykres funkcji $f$ i na jego podstawie wyznacz zbiór wartości funkcji.

   b) Oblicz $f(\sqrt{3}-1),\;f(1-\sqrt{3})$ oraz $f\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$.

   c) Określ liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

5. Punkty $K$ i $L$ są środkami - odpowiednio - boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$. Punkt $M$ jest takim punktem boku $BC$, że odcinek $KM$ jest prostopadły do odcinka $DK$. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ i $DM$ w punktach - odpowiednio - $P$ oraz $Q$. Wykaż, że czworokąt $AKQD$ jest deltoidem o polu równym połowie pola kwadratu. Sporządź rysunek.

6. Trapez równoramienny $ABCD$ o polu $P$, w którym ramię i górna podstawa są równe połowie dolnej podstawy, zgięto wzdłuż jego osi symetrii $EF$ tak, że obie połowy utworzyły kąt $60^{\circ}$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałego w ten sposób wielościanu $ABCDEF$.