Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Lista zadań do wydruku - PDF

PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2025 r.

Poziom podstawowy

1. W urnie znajduje się 9 kul ponumerowanych od 1 do 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując bez zwracania 4 kule, otrzymamy parzystą sumę wylosowanych numerów?

2. Rozwiąż równanie $$\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos{x}+\sin{x}\right),$$

3. Rozwiąż układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{rcl} 2x-1&=&2^{y-1},\cr \log_2{(x^2-4)}&=&y-1. \end{array} \end{cases}$$

4. Niech $\,A=\left\lbrace(x,y): -1\leq \log_{\frac{1}{2}}{|x|}+\log_{2}{|y|} \leq 1\right\rbrace,\;B=\left\lbrace(x,y):|x|+|y|\leq 2\right\rbrace.\,$ Narysuj zbiór $A\cap B$ oblicz stosunek jego pola do pola zbioru $B\setminus A.$

5. Narysuj wykres funkcji $\,f(x)=\left(\sqrt{2}\right)^{\log_2{(2x-1)^2}+4\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{2-x}}}.\,$ Określ liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$ i rozwiąż równanie $f(x)=1.$

6. W trójkąt równoramienny wpisano okrąg o promienu $r$. Oblicz pole trójkąta, jeżeli wiadomo, że że środek okręgu na nim opisanego leży na okręgu wpisanym.

Poziom rozszerzony

1. Kuba umie odpowiedzieć na $80\%$ pytań przygotowanych przez wykładowcę na egzamin z algebry liniowej. Na egzaminie losuje 2 spośród 60 pytań. Jeżeli odpowie poprawnie na oba, to egzamin ma zdany, jeżeli na żadne, to musi przystąpić do egzaminu poprawkowego. Jeżeli zaś odpowie poprawnie na jedno z pytań, to może na tym samym egzaminie wylosować jeszcze jedno (z pozostałych 58 pytań) i poprawna na nie odpowiedź jest podstawą zaliczenia przedmiotu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Kuba zaliczy ten przedmiot podczas pierwszegeo egzaminu?

2. Rozwiąż równanie $$9^{x-\sqrt{x^2-1}}-12\cdot 3^{x-1-\sqrt{x^2-1}}+3=0.\,$$

3. Rozwiąż równanie logarytmiczne $ \log_{(x+2)^2}|x-2|=\log_{|x-2|}\sqrt{x+2}.$

4. Narysuj zbiór $\left\lbrace(x,y): 3\leq |x|+|y|\leq 11,\;|y|\leq 2^{|x|},\; |y|\geq\log_{2}{|x|}\right\rbrace$ i podaj równania jego osi symetrii. Uzasadnij sposób postępowania.

5. Rozwiąż nierówność $$1+\frac{\cos{x}}{\sqrt{3}+\cos{x}}+\left(\frac{\cos{x}}{\sqrt{3}+\cos{x}}\right)^2+\left(\frac{\cos{x}}{\sqrt{3}+\cos{x}}\right)^3+\cdots\leq\sin{x}.$$ której lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego.

6. Punkt $S$ jest środkiem boku $AB$ w trójkącie $ABC$. Ponadto $\angle BAC+\angle SCB=90^\circ$ oraz $|AC|<|BC|.$ Niech $D$ będzie punktem przecięcia symetralnej $AB$ z prostą $AC.$ Udowodnij, że wyjściowy trójkąt jest prostokątny, a na czworokącie $SBDC$ można opisać okrąg.