Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2020 r.

Poziom podstawowy

  1. Wyznaczyć $z$ jako funkcję zmiennej $y$, wiedząc, że $x=2^{\frac{1}{1-\log_2{z}}}$ oraz $y=2^{\frac{1}{1-\log_2{x}}}$.

  2. Pokazać, że dla każdej wartości parametru $\alpha\in [0,2\pi]$, dla której istnieje rozwiązanie równania $$ x^2-2\cos{\alpha}\cdot x+\sin^2{\alpha}=0,$$ suma kwadratów jego pierwiastków jest równa przynajmniej 1.

  3. W zależności od parametru rzeczywistego $k$ przedyskutować liczbę rozwiązań układu równań \begin{cases} \begin{array}{lcl} y&=&|1-|x-1||, \cr y&=&kx+k-1 \end{array} \end{cases}
    Sporządzić ilustrację graficzną układu dla kilku charakterystycznych $k$.

  4. Przekątna $BD$ równoległoboku $ABCD$ jest prostopadła do boku $AD$, a kąt ostry tego równoległoboku jest równy kątowi między jego przekątnymi. Wyznaczyć stosunek długości przekątnych. Sporządzić rysunek.

  5. Wyznaczyć zbiór punktów, z których odcinek o końcach $A(2,0)$ i $B(1,\sqrt{2})$ jest widoczny pod kątem $30^{\circ}$. Sporządzić rysunek.

  6. Podstawą graniastosłupa prostego o wszystkich krawędziach równych $a$, jest romb o kącie ostrym $\alpha$. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przechodzącą przez dłuższą przekątną $AC$ podstawy dolnej i przeciwległy wierzchołek podstawy górnej. Wyznaczyć cosinus kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy i pole otrzymanego przekroju. Sporządzić rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. Rozwiązać równanie $$\left(\frac{1}{x}\right)^{2-3\log_2{x}}=\frac{1}{2} x^{1+\log_x{2}}.$$

  2. Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^3+(m-2)x^2+(2-m-m^2)x-(1-m^2)=0$ ma trzy różne pierwiastki, których suma kwadratów nie przekracza 5?

  3. Czworokąt wypukły $ABCD$, w którym $AB=1, BC=2, CD=4,$ $DA=3$ jest wpisany w okrąg. Obliczyć promień $R$ tego okręgu. Sprawdzić, czy w czworokąt ten można wpisać okrąg. Jeżeli tak, to obliczyć promień $r$ tego okręgu. Sporządzić rysunek.

  4. Podstawą graniastosłupa prostego o wszystkich krawędziach równych jest romb o kącie ostrym $\frac{\pi}{3}$. Graniastosłup ten przecięto dwiema płaszczyznami: płaszczyzną przechodzącą przez bok $AB$ podstawy dolnej i wierzchołek $C'$ oraz płaszczyzną przechodzącą przez bok $AD$ podstawy dolnej i ten sam wierzchołek $C'$. Wyznaczyć kąt dwuścienny między tymi płaszczyznami oraz stosunek objętości brył, na jakie został podzielony graniastosłup. Sporządzić rysunek.

  5. W zależności od parametru rzeczywistego $p$ przedyskutować liczbę rozwiązań układu równań \begin{cases} \begin{array}{ll} x^4+y^4+2x^2y^2-4x^2&=0, \cr x^2+y^2-2\sqrt{3}y&=p \end{array} \end{cases} Sporządzić ilustrację graficzną układu dla kilku charakterystycznych $p$.

  6. Wykorzystując wzór Newtona i obliczając pochodną wielomianu $w(x)=(1-x)^n$, wykazać, że dla dowolnego $n\in N,\;n\geq 2$ zachodzi równość $$ {n\choose 1} - 2 {n\choose 2} + 3 {n\choose 3} - 4 {n\choose 4}+ \ldots + (-1)^{n-1} n {n\choose n} =0$$ Wywnioskować stąd, że jeżeli liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n, a_{n+1}$ tworzą ciąg arytmetyczny, to dla dowolnego $n\in N$ zachodzi równość $$a_1- {n\choose 1} a_2 + {n\choose 2} a_3- {n\choose 3} a_4 + \ldots + (-1)^n {n\choose n} a_{n+1}=0$$