Korespondencyjny
Kurs z Matematyki
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2021 r.
Poziom podstawowy
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.
Określ dziedzinę wyrażenia $$w(x,y)=[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{4\sqrt{x}\sqrt{y}}{x-y}]: [\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{1}{x-y}].$$ Sprowadź je do najprostszej postaci i oblicz $w(3+2\sqrt{2},3-2\sqrt{2}).$
Dwie drużyny harcerskie postanowiły zebrać dla ogrodu zoologicznego określoną ilość żołędzi. Pierwsza z nich rozpoczęła pracę półtora dnia wcześniej. W ciągu siedmiu następnych dni pracowały razem i zebrały zaplanowaną ilość żołędzi. Gdyby każda z drużyn pracowała oddzielnie, to druga wykonałaby całą pracę o 3 dni wcześniej od pierwszej. Ile dni potrzebuje każda z drużyn na zebranie tej ilości żołędzi?
Wyznacz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $\alpha$, wiedząc, że spełnione jest równanie $$\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha}=2\ctg\alpha.$$
Funkcja liniowa $f(x)=ax+b\,$ spełnia warunek $f(5)-f(3)=4.\,$ Wyznacz jej wzór, wiedząc, że pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji $\,g(x)=a|x|-b\,$ oraz $\,h(x)=-a|x|+b\,$ jest równe 16. Sporządź rysunek.
Niech $A=\left\lbrace (x,y):\,|x|\leq 2,\;|y|\leq 2\right\rbrace$ oraz $B_p=\left\lbrace(x,y):\,|x|+|y|\leq p\right\rbrace$ dla $p>2$. Narysuj w jednym układzie współrzędnych zbiory $A$ i $B_3.\,$ Oblicz pole zbiorów $A\cap B_3$ i $A\cup B_3.$ Dla jakiego $p$ zbiór $A\cap B_p$ jest wielokątem foremnym?
Poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą większą niż $3$, to jej czwarta potęga pomniejszona o 1 jest wielokrotnością 48.
Określ dziedzinę wyrażenia: $$w(x,y)=\left(\frac{\sqrt[6]{y}}{\sqrt{y}-\sqrt[6]{x^3y^2}}-\frac{x}{\sqrt{xy}-x\sqrt[3]{y}}\right)\cdot \left[ \frac{1}{ \sqrt{x}-\sqrt{y}} \left(\sqrt[6]{x^5}-{y\over\sqrt[6]{x}}\right)-\frac{x-y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[6]{x}\sqrt{y}}\right]$$ i sprowadź je do najprostszej postaci. Oblicz $w(7+5\sqrt{2},-7+5\sqrt{2})$.\ Wskazówka: Oblicz najpierw $(\sqrt{2}+1)^3.$
Trzech informatyków podjęło się naprawy awarii dużego systemu komputerowego. Z wcześniejszych doświadczeń wiadomo, że pierwszy z nich potrzebowałby na realizację tego zlecenia 4 godziny więcej niż drugi, a trzeci pracowałby nad nim dwa razy krócej niż pierwszy. W jakim czasie wykonałby to zadanie każdy z informatyków, jeżeli wiadomo, że, pracując razem, naprawili awarię w ciągu 2 godzin i 40 minut?
Wyznacz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$ wiedząc, że spełnione jest równanie $$ 3\cos{\alpha}-\frac{1}{\cos{\alpha}}=\sin{\alpha}.$$
Dla jakich wartości parametru rzeczywistego $m$ wielomian $$$w(x) = 2x^3-(2+m)\,x^2+(2m+2)\,x-m-2$$ ma trzy parami różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2, x_3$, których suma odwrotności jest nieujemna? Sporządź wykres funkcji $f(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}.$
Niech $\,A=\left\lbrace (x,y):\,\sqrt{3}|x|+|y|\leq \sqrt{3}\right\rbrace,\;$ $\,B=\left\lbrace(x,y):\,(|x|-1)^2+y^2\leq 1\right\rbrace$ oraz $\,C=\left\lbrace(x,y):\,x^2+(|y|-\sqrt{3})^2\leq 1\right\rbrace$. Narysuj w jednym układzie współrzędnych zbiory $A$, $B$ i $C\;$. Oblicz pole zbioru $A\setminus(B\cup C).$