Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2021 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiąż równanie $$\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}.$$

2. Rozwiąż nierówność $$ \sqrt{4-x} \leq x + 8.$$

3. W ciągu geometrycznym $(a_n)$ zachodzą równości: $a_4-a_2=18$ oraz $a_5-a_3=36.$ Wyznacz $a_3.$

4. Dla jakich wartości parametru $m$ rozwiązaniem układu $$\begin{cases} \begin{array}{ccr} 2x + 3y&=&4,\cr 4x + my&=&2m. \end{array} \end{cases}$$ jest para liczb dodatnich?

5. Przekrój poprzeczny dwuspadowego dachu pewnego budynku jest czworokątem $ABCD,$ w którym kąt $DAB$ jest kątem prostym, $|AB|=9m,$ a obie (nierówne) połacie dachu, czyli odcinki $BC$ i $CD,$ są nachylone pod kątem $40^\circ$ do poziomu (odcinka AB). Oblicz łączną długość (tzn. $|BC|+|CD|$) obu połaci dachu.

6. Wykaż, że miara kąta ostrego w rombie wynosi $30^\circ$ wtedy i tylko wtdy, gdy długość jego boku jest równa średniej geometrycznej jego przekątnych.

Poziom rozszerzony

1. Rozwiąż równanie $$\tg x \cdot \tg(x+1) = 1.$$

2. Rozwiąż nierówność $$2-3x > \sqrt{\frac{x+4}{1-x}}.$$

3. Huragan znad Oceanu Atlantyckiego zbliża się do wybrzeża Florydy. Jeżeli jego centrum znajdzie się w odległości mniejszej niż 60 km od centrum Miami, to miast dozna poważnych zniszczeń. Meteorolog modeluje centrum miasta jako ustalony punkt o współrzędnych $(240,200),$ gdzie jednostką układu współrzędnych jest kilometr. Przyjmuje natomiast, że centrum huraganu porusza się po prostej o równaniu $y=kx + 20.$ Dla jakich wartości parametru $k$ miasto nie dozna poważnych zniszczeń?

4. Zbadaj liczbę rozwiązań równania $$ \frac{x^2+1}{a^2 x-2a}-\frac{1}{2-ax} = \frac{x}{a},$$ w zależności od parametru $a\neq 0.$

5. Pole rombu jest równe $S,$ a suma długości jego przekątnych wynosi $m.$ Wyznacz długość jego boku oraz cosinus kąta ostrego. Jakie warunki muszą spełniać parametry $m$ i $S$ żeby zadanie miało rozwiązanie?

6. Dany jest niestały ciąg arytmetyczny $(a_n)$ taki, że iloraz $$ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}}$$ jest liczbą stałą $C$. Wyznacz wartość tej stałej oraz różnicę tego ciągu, jeśli wiadomo, że jego pierwszym wyrazem jest $a_1=p$.