Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2021 r.

Poziom podstawowy

1. Narysuj staranny wykres funkcji $f(x)=|\sin x| \cos x$ i rozwiąż nierówność $|f(x)| \leq \frac{1}{4}.$

2. Wyznacz dziedzinę funkcji $$f(x) = \log_2 \left(\frac{3x-5}{x-2}+1\right)$$ i sprawdź dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie.

3. W trójkącie dane są długości dwóch boków $a$ i $b$. Oblicz długość trzeciego boku, wiedząc, że suma wysokości poprowadzonych do boków $a$ i $b$ jest równa trzeciej wysokości.

4. Niech $ABCDEF$ będzie sześciokątem foremnym. Wykaż, że $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}= 3 \overrightarrow{AD}.$$

5. Na krzywej o równaniu $y=\sqrt{2x}$ znajdź miejsce, które położone jest najbliżej punktu $P(3,0).$ Sporządź rysunek.

6. Dla jakich wartości parametru $m$ pierwiastkiem wielomianu $$ w(x) = 2x^3 - 7x^2 - (m^2 -12)x + m^2 +m -6$$ jest $x=3$? Dla znalezionych wartości $m$ wyznacz pozostałe pierwiastki $w(x).$

Poziom rozszerzony

1. Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A(-1,3),$ $B(-4,-1),$ i $C(3,0).$ Znajdź kąt pomiędzy wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $A$ i bokiem $AC.$ Oblicz pole tego trójkąta.

2. Narysuj wykres funkcji $f(x) = \sin^2 x - \cos 2x$ i rozwiąż nierówność $f(x) \geq -\frac{1}{4}.$

3. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność $$\log_y (\log_x y) > 0.$$

4. Reszta z dzielenia wielomianu $w(x) = x^4+a x^3 + (b+2) x^2 + b x + a - 3$ przez trójmian $x^2 + 2x - 8$ wynosi $-5x+40.$ Wyznacz wartość parametrów $a$ i $b$ oraz rozwiąż nierówność $$ w(x-1) \geq w(x+1). $$

5. Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD,$ w którym $\angle ABC = 90^\circ.$ Dwusieczna kąta $BAD$ przecina odcinek $BC$ w punkcie $P.$ Niech $Q$ będzie rzutem prostopadłym punktu $P$ na prostą $AD.$ Wykaż, że jeżeli pole czworokąta $APCD$ jest równe polu trójkąta $ABP,$ to $|PC|=|DQ|.$

6. Boisko do gry w piłkę ręczną jest prostokątem o długości 40m i szerokości 20m. Bramki mają szerokość 3m i stoją dokładnie na środku linii bramkowej (krótszego boku prostokąta). Z jakiego punktu linii bocznej (dłuższego boku prostokąta) widać bramkę pod największym możliwym kątem?