Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2021 r.

Poziom podstawowy

1. Trzy liczby naturalne o iloczynie 80 tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi wyraz tego ciągu zmniejszymy o 1, to liczby te (rozważane w tej samej kolejności) utworzą ciąg geometryczny. Jakie to liczby?

2. Liczby dodatnie $a,\,b$ spełniają warunek $a^2+b^2=7ab.\,$ Wykaż, że $$\log_3{a}+\log_3{b}+2=2\log_3{(a+b)}$$.

3. Rozwiąż równanie $$\tg^2{x}=\frac{1+\cos{x}}{1-\sin{x}}$$.

4. Narysuj wykres funkcji $$f(x)=\begin{cases} \begin{array}{rcl} \frac{2}{3} x^2-\frac{8}{3} x+2,& \mbox{gdy} & |2x-5|\leq 3,\cr |4-2|x-3||,& \mbox{gdy} & |2x-5|>3. \end{array} \end{cases} $$ Na jego podstawie wyznacz: zbiór wartości funkcji $f(x)$ oraz liczbę rozwiązań równania $\,f(x)=m\,$ w zależności od parametru $m$.

5. Punkt $A(0,0)$ jest wierzchołkiem ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg $x^2-2x+y^2=0$. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.

6. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i przekątną jego podstawy jest trójkątem równobocznym. W ostrosłup wpisano sześcian, którego dolna podstawa jest zawarta w podstawie ostrosłupa, a wierzchołki górnej podstawy sześcianu leżą na krawędziach ostrosłupa. Oblicz stosunek objętości sześcianu do objętości ostrosłupa.

Poziom rozszerzony

1. Liczby dodatnie $a,\,b,\,c$ spełniają warunki: $\;c>b,\,a\neq 1,\,c-b\neq 1,\,c+b\neq 1.\,$ Wykaż, że równość $$log_{c+b}{a}\cdot\log_{c-b}{a}=\frac{\log_{c+b}{a}+\log_{c-b}{a}}{2}$$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a^2+b^2=c^2.$

2. Rozwiąż nierówność $\sin^4{x}+\cos^4{x}\leq\frac{3}{4}.$

3. Oblicz sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym $a_1=1,$ a każdy kolejny wyraz jest połową różnicy wyrazu następnego i poprzedniego.

4. Narysuj wykres funkcji $$f(x)=\begin{cases} \begin{array}{rcl} 2^{-x},& \mbox{gdy} & |x+1|\leq 2,\cr \log_{2}{|x\sqrt{2}|},& \mbox{gdy} & |x+1|>2 \end{array} \end{cases}$$ Na podstawie wykresu wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)$ i sprawdź, w jakich punktach jest ona ciągła. Odpowiedź poprzyj odpowiednim rachunkiem.

5. Okręgi o promieniach $r<R$ są styczne zewnętrznie w punkcie $M$ i styczne do prostej $l$ w punktach $A$ i $B$. Wyznacz pole trójkąta $ABM$ w zależności od $r$ i $R$.

6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60^{\circ}$. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej do objętości kuli opisanej na ostrosłupie.