Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2022 r.

Poziom podstawowy

  1. Do sklepu dostarczono ziemniaki w dwóch gatunkach. II gatunek jest po $a$ zł za kilogram, a I gatunek jest o 20 $\%$ droższy. Łączna wartość dostarczonych ziemniaków wyniosła 56$a$ zł. W ciągu dnia sprzedano 1/5 ziemniaków I gatunku i 1/4 ziemniaków II gatunku, w sumie za kwotę 12,2$a$ zł. Ile kilogramów ziemniaków każdego gatunku dostarczono do sklepu?

  2. Na loterii jest 100 losów, z których 5 jest wygrywających. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech kupionych losów a) dokładnie jeden wygrywa; b) przynajmniej jeden wygrywa?

  3. Dany jest kwadrat o boku $a$. Do boków tego kwadratu dołączono jednakowe trójkąty równoramienne o podstawie boku kwadratu. Następnie złączono wierzchołki trójkątów w jeden wierzchołek tworząc ostrosłup o objętości $V$. Wyznacz długość ramienia dołączonych trójkątów, a następnie wykonaj rachunki, przyjmując $a=3$ cm oraz $V=18$ cm$^3$.

  4. Wysokość rombu o boku $a$ dzieli jeden z jego boków na dwie części w stosunku $1:2$. Wyznacz długości przekątnych rombu oraz promień okręgu wpisanego w ten romb.

  5. Znajdź współrzędne wierzchołka $C$ trójkąta równoramiennego $ABC$ o podstawie $AB$, gdzie $A(0,0)$ i $B(2,0)$, wiedząc, że środkowe tego trójkąta $AD$ i $BE$ są prostopadłe względem siebie.

  6. Prosta o równaniu $x-2y +10=0$ przecina parabolę $y = x^2 -4x +5$ w punktach $A$ i $B$. Wykaż, że trójkąt $ABC$, gdzie $C$ jest wierzchołkiem paraboli, jest prostokątny, a następnie oblicz pole tego trójkata. Wykonaj staranny rysunek.

Poziom rozszerzony

  1. Kąt ostry równoległoboku ma miarę $45^{\circ}$. Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest oddalony od boków o 1 i $\sqrt{2}$. Oblicz pole tego równoległoboku oraz długości jego przekątnych.

  2. Spośród 20 pytań egzaminacyjnych uczeń zna odpowiedź na 12 pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń zda egzamin, jeśli przyjęta jest następująca zasada: uczeń losuje dwa pytania i jeśli na oba odpowie dobrze, to egzamin jest zdany, a jeśli tylko na jedno pytanie odpowie dobrze, to losuje jeszcze jedno pytanie i musi na nie odpowiedzieć poprawnie, żeby zdać egzamin?

  3. Czworościan rozcięto wzdłuż trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka i po rozprostowaniu otrzymano kwadrat o boku $a$. Oblicz objętość czworościaniu oraz wykonaj odpowiedni rysunek.

  4. Przez punkt $(-1,2)$ przeprowadź prostą tak, aby środek jej odcinka zawartego między prostymi $x+2y=3$ i $x+2y=5$ należał do prostej $x+y=2$. Wyznacz równanie symetralnej tego odcinka. Wykonaj staranny rysnuek.

  5. Rozwiąż algebraicznie następujący układ równań $$\begin{cases} \begin{array}{l} & y = \left|x^2 -2x\right| +1\cr & x^2 + y^2+1 = 2x + 2y \end{array} \end{cases}$$ i podaj jego interpretację graficzną (wykonaj staranny rysunek).

  6. Funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 4x +4}{2x}$ ma w punktach $A$ i $B$ wartości ekstremalne. Znajdź taki punkt $C$ należący do osi odciętych, aby pole trójkąta $ABC$ było równe pierwiastkowi równania ${x^{1-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}\ldots} = 4}$, gdzie $x>0$. Naszkicuj wykres funkcji $f(x)$ wraz z trójkątem $ABC$.