Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2022 r.

Poziom podstawowy

  1. Grupa przyjaciół postanowiła kupić wspólnie ciekawą grę komputerową za 1920 złotych. Gdy zgłosiło się jeszcze czterech chętnych do korzystania z tego oprogramowania, okazało się, że, przy równym podziale kosztów, każdy będzie mógł zapłacić 80 złotych mniej. Ile osób będzie korzystało z tej gry i ile każdy z nich musi za nią zapłacić?

  2. Liczby $\,a,\,b,\,c\,$ dają przy dzieleniu przez 7 reszty (odpowiednio) - $1,\,2,\,3.\;$ Wykaż, że suma kwadratów tych liczb jest podzielna przez 7.

  3. Dla jakiego parametru $m$ pierwiastkiem równania $$\,x^2+(2m+1)x+m+4=0\,$$ jest liczba $(-2)$? Dla znalezionego $m$ wyznacz drugi pierwiastek tego równania i sprawdź, dla jakich argumentów otrzymana funkcja kwadratowa $f(x)=x^2+(2m+1)x+m+4\,$ spełnia nierówność $$2f(x)>1+\sqrt{2}.$$.

  4. Oblicz wartość wyrażeń $$ a=\frac{\sin{45^{\circ}}\cos{15^{\circ}}-\cos{45^{\circ}}\sin{15^{\circ}}}{\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}}},\;\;\; b=\frac{\sin{75^{\circ}}\cos{15^{\circ}}-\cos{75^{\circ}}\sin{15^{\circ}}}{\sin{20^{\circ}}\cos{70^{\circ}}+\cos{20^{\circ}}\sin{70^{\circ}}}$$. Wyznacz stosunek promieni okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości $a$ i $b$.

  5. Punkty $A(1,0),\;B(5,2),\;C(3,3)\;$ są trzema kolejnymi wierzchołkami trapezu prostokątnego, w którym $AB||CD$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$ oraz równania przekątnych trapezu. W jakim stosunku każda z tych przekątnych dzieli pole trapezu?

  6. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy. Oblicz objętość ostrosłupa i cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, wiedząc, że suma długości wszystkich jego krawędzi jest równa $18$.

Poziom rozszerzony

  1. Dla jakich wartości parametru $a$ równanie $4-|x-1|=(a+2)^2$ ma dwa różne rozwiązania?

  2. Wykorzystując dwumian Newtona, uzasadnij, że liczba $11^{2k}-9^{2k}$ jest podzielna przez $100$ dla dowolnej liczby naturalnej $k$ podzielnej przez 5.

  3. Wykaż, że w dowolnym trójkącie prostokątnym wartość bezwzględna różnicy tangensów kątów ostrych jest dwa razy większa niż wartość bezwzględna tangensa kąta, jaki tworzą wysokość i środkowa poprowadzone z wierzchołka kąta prostego.

  4. Dany jest trapez prostokątny o podstawach długości $a$ i $b$ oraz wysokości $2h$. Wykaż, że jeżeli $h^2=ab$, to dłuższe ramię trapezu jest równe $a+b$, a okrąg, którego jest ono średnicą, jest styczny do drugiego ramienia.

  5. Narysuj wykres funkcji $$f(x)=1-\frac{x}{x+2}+\left(\frac{x}{x+2}\right)^2-\left(\frac{x}{x+2}\right)^3+\ldots$$ która jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego i wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu prostopadłej do prostej $2x-y=0$. Sporządź staranny rysunek.

  6. Podstawą ostrosłupa jest trapez o obwodzie 32, którego jedna podstawa jest trzy razy dłuższa niż druga. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod kątem $60^{\circ}$. Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że w jego podstawę można wpisać okrąg.