Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2022 r.

Poziom podstawowy

1. Uprość wyrażenie $$\frac{x^{-1}-a^{-1}}{a^{-1}-b(ax)^{-1}},\quad \text{jeśli} \quad x=\frac{1}{(a+b)^{-1}}-\left(\frac{a+b}{a^2+b^2}\right)^{-1}. $$

2. W jakim stosunku należy zmieszać dwa roztwory cukru o stężeniach $5\% $ oraz $23\%$, aby otrzymać roztwór $17\%$?

3. Rozwiąż nierówność $$x-|5x-2|<0. $$

4. Dla jakich wartości parametru $a$ nierówność $$(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2>0$$ jest spełniona dla każdego $x\in\mathbb{R}$?

5. Wiedząc, że 1 i 3 są pierwiastkami równania $$ x^3+mx^2+23x+n=0,$$ oblicz $m,n$ i wyznacz trzeci pierwiastek równania.

6. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=\begin{cases} \begin{array}{rcl} |x^2-x-2|+1 & \mbox{dla}\quad |2x-2|\le 4,\cr 5+|x-3| & \mbox{dla}\quad |2x-2|> 4. \end{array} \end{cases} $$ Wykorzystując wykres, wyznacz zbiór wartości funkcji $f(x)$ oraz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale $[0,4]$.

Poziom rozszerzony

1. Dla jakich wartości parametru $a$ równanie $$ 2x^2-a\,x+a+2=0 $$ ma pierwiastki spełniające warunek $|x_2-x_1|=1$?

2. W sali ustawiono krzesła i trzyosobowe ławki, w łącznej liczbie 268. Do sali weszło 480 osób. Po zajęciu wszystkich miejsc siedzących proporcja osób stojących do siedzących okazała się większa niż $\frac{39}{160}$, ale mniejsza niż $\frac{41}{160}$. Ile ławek i ile krzeseł było w sali?

3. Rozwiąż nierówność $$ \left|\,\left|\,\left|\,\left|\,\left|x\right| - 1\right| - 2\right| - 1\right| - 2\right| \le 3. $$

4. Oblicz $$ x^4+y^4+z^4,\quad \text{jeśli} \quad x+y+z=0 \quad \text{oraz} \quad x^2+y^2+z^2=3. $$

5. Rozwiąż układ równań $$ \begin{cases} \begin{array}{rcl} x-|y+1| &= &1,\cr x^2+y &=&10. \end{array} \end{cases} $$ Podaj jego interpretację geometryczną (narysuj starannie obie dane powyższymi równaniami krzywe).

6. Wyznacz wartości parametru $p$, dla których równanie $$ (p-1)x^4-2(p+4)x^2+p=0 $$ ma cztery pierwiastki różne od $0$.