Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2022 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiąż nierówność $$1\leq \log_{\frac13}\frac{1}{2x-1}<2.$$

2. Średnia arytmetyczna czwartego, szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego $(a_n)$, gdzie $n\geq1$, wynosi 14, a ciąg $(a_3,\,a_5,\,a_{11})$ jest geometryczny. Uzasadnij, że ciąg $(a_4,\,a_6,\,a_{10})$ również jest geometryczny.

3. W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, mamy $$ a_{3}=0\quad\mbox{oraz}\quad a_6=7\sin^2\alpha, $$ gdzie $\tg\alpha=3$. Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu, których indeksy są liczbami parzystymi.

4. Bank oferuje kredyt, który należy spłacić jednorazowo wraz z odsetkami po roku. Jaki jest całkowity koszt tego kredytu, jeśli co miesiąc bank nalicza odsetki w wysokości $2\%$ aktualnego zadłużenia, a dodatkowo w chwili przyznania kredytu dolicza prowizję w wysokości $3\%$ pożyczanej kwoty? Jaką kwotę trzeba będzie spłacić, jeśli pożyczymy 20\,000 zł? Prowizja naliczana jest jednorazowo i powiększa kwotę, którą należy spłacić.

5. Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich wartości parametru $t$, dla których funkcja $$ f(x)=\left(\frac{2-t^2}{t-3}\right)^{t-x}+1-t $$ jest malejąca. Naszkicuj wykres funkcji $f$ dla największej całkowitej wartości $t$ z wyznaczonego zbioru.

6. Niech $c>0$ i $c\neq1$. Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną $m$, dla której suma $m$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$, $a_n=\log_2{c^n}$, przekracza liczbę $$ \log_{2^m}c^{m^2}+16\log_{4}c^{2}. $$

Poziom rozszerzony

1. Uzasadnij, że ciąg $(a_n)$, którego $n$-ty wyraz dany jest wzorem $$ a_n=\frac{1}{2^1+3^1}+\frac{1}{2^2+3^2}+\frac{1}{2^3+3^3}+\dots+\frac{1}{2^n+3^{n}}, $$ jest ograniczony.

2. Wyznacz dziedzinę $D_f$ funkcji $$\;f(x)=\log_{10+3x-x^2}\left(8-\frac{7}{1-x}\right).$$

3. Niech $c>0$. Zbadaj monotoniczność oraz oblicz sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu $(a_n)$, gdzie $$ a_n=\log_{3^{3^n}}c \mbox{  dla każdego  } n\geq1. $$ Ustal, dla jakiej wartości parametru $c$ suma ta jest nie mniejsza od liczby $\log_9(c^2-2)$.

4. Rozwiąż nierówność $$ \sqrt{\log_{\sqrt{x}}(x+2)}>\frac{1}{\log_{\sqrt{x+2}}\sqrt{x}}. $$

5. Określ ilość rozwiązań równania $$ \left|2^{x-1}-1\right|=m\cdot 2^{x+1} $$ w zależności od wartości parametru $m$.

6. Opisz metodę konstrukcji i starannie narysuj wykres funkcji $$\;f(x)=2+\log_2\frac1{2-x}.$$ Następnie narysuj obraz tej krzywej w symetrii względem prostej $x=y$. Wyprowadź wzór funkcji, której wykresem jest powstała w ten sposób krzywa.