Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 3 — listopad 2022 r.

Poziom podstawowy

  1. W trójkącie $ABC$ wpisanym w okrąg o środku $S$ i promieniu $r$ dany jest kąt $\alpha=\angle ABC.$ Oblicz pole trójkąta $ASC.$

  2. Rozwiąż równanie $$ | \sin x| + | \cos x | = \frac{\sqrt{6}}{2}.$$

  3. Dana jest funkcja $$ f(x)= \cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right). $$ Narysuj starannie wykres funkcji $f(x).$ Rozwiąż nierówność $(f(x))^2 \geq \frac{1}{2}.$

  4. Niech $\alpha, \beta$ i $\gamma$ oznaczają kąty pewnego trójkąta. Wykaż, że jeżeli $$ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = 2 \cos \gamma,$$ to ten trójkąt jest równoramienny.

  5. Na okręgu o promieniu $r$ opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok jest równy $\frac{4}{3}r.$ Oblicz pole tego trapezu.

  6. Pewną górę widać najpierw pod kątem $\alpha$ (jest to kąt między linią poziomą, a odcinkiem łączącym szczyt z obserwatorem), a po przybliżeniu się do niej o $d$ metrów widać ją pod nieco większym kątem $\beta.$ Wyznaczyć względną wysokość tej góry. Wykonać obliczenia dla wartości $\alpha=41^\circ,$ $\beta=45^\circ,$ $d=90$m.

Poziom rozszerzony

  1. Udowodnij, że $$ \cos 4x = 1 - 8\cos^2 x + 8\cos^4 x.$$ Wykorzystując ten wzór, znajdź wartość $\cos \frac{\pi}{24}.$

  2. Wykaż, że dla każdego trójkąta zachodzi nierówność $$ \frac{1}{2r}<\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} < \frac{1}{r},$$ gdzie $h_a, h_b$ są wysokościami, a $r$ promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

  3. Dana jest funkcja $ f(x) = \sin 4x \ctg 2x - \frac{1}{2}.$ Rozwiąż nierówność $f(x) \geq 1 $ i narysuj staranny wykres $f(x).$

  4. Przekątne trapezu dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Pola tych dwóch trójkątów, których bokami są podstawy trapezu równe są $S_a$ i $S_b.$ Oblicz pole tego trapezu.

  5. Manipulator robota składa się z dwóch ramion o długościach $l_1$ i $l_2,$ połączonych przegubem. Pierwsze ramię umieszczono w początku układu współrzędnych. Niech $\alpha$ oznacza kąt między pierwszym ramieniem i osią $Ox,$ a $\beta$ - kąt między drugim ramieniem i kierunkiem pierwszego ramienia (patrz rysunek).

    rysunek do zadania

    Wyznacz współrzędne końca drugiego ramienia (punktu $P$) w zależności od kątów $\alpha$ i $\beta.$ Sprawdź, czy punkt $P$ może przesunąć się do punktów $S(2,1)$ oraz $Q(3,-1)$ jeżeli $l_1=3,$ $l_2=2$ oraz ruchy manipulatora ograniczone są tak, że $\alpha, \beta\in \left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3} \right].$ Jeżeli tak, to wskaż konkretne kąty $\alpha$ i $\beta$ (podaj przybliżenia, jeśli nie można określić dokładnej ich wartości), a jeśli nie, to uzasadnij dlaczego.

  6. Okrąg o promieniu $r$ toczy się wewnętrznie bez poślizgu po okręgu o promieniu $2r.$ Jaką linię zakreśla ustalony (dowolnie wybrany) punkt $P$ ruchomego okręgu? Wskazówka: rozważ dwa różne położenia mniejszego okręgu i sprawdź gdzie przesuwa się punkt styczności, skorzystaj ze związku między długością łuku, kątem środkowym opartym na tym łuku i promieniem okręgu.