Logo PWr

Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

PRACA KONTROLNA nr 4 — grudzień 2022 r.

Poziom podstawowy

  1. Wyznacz miarę kąta ostrego $\alpha$, wiedząc, że $\cos{\alpha}+\sin{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}}.$

  2. Dane są wierzchołki $A(-1,-2)$ i $B(6,-1)$ równoległoboku, którego przekątne przecinają się w punkcie $S(4,0).\,$ Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków i oblicz pole równoległoboku.

  3. Trójkąt prostokątny o polu $30$ jest opisany na okręgu o promieniu $2$. Wyznacz długości jego boków.

  4. Cięciwy $AB$ i $CD$ (punkt $C$ leży na łuku $AB$) przecinają się pod kątem prostym w punkcie $S$. Pole trójkąta $BSD$ jest równe 4, a pole trójkąta $ASC$ wynosi $9$. Oblicz pole czworokąta $ADBC$, jeżeli suma długości tych cięciw jest równa $15$.

  5. Dane są punkty $A(8,2)$ i $B(1,6).$ Punkt $C$ leży na jednej z osi układu i jest wierzchołkiem kąta prostego w trójkącie $ABC$. Wyznacz współrzędne punku $C$.

  6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym zachodzi równość $\cos{\alpha}=\sqrt{3}\cos{\beta},$ gdzie $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej, a $\beta$ - kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Wykaż, że ten ostrosłup jest czworościanem foremnym.

Poziom rozszerzony

  1. Wiedząc, że $\sin{2x}=-\frac{3}{4}\,$ i $x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$ oblicz wartość wyrażenia $$\frac{\sin{(3x+30^{\circ})}-\sin{(x-30^{\circ})}}{4\cos^2{x}-2}.$$

  2. Wektory $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ mają długość 1 i tworzą kąt $60^{\circ}$. Oblicz długości przekątnych równoległoboku rozpiętego na wektorach $(2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ i $(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v})$. Wyznacz jego kąt ostry i sprawdź, czy można w ten równoległobok wpisać okrąg. Jeżeli tak, to oblicz jego promień.

  3. Przekątne trapezu $ABCD$ przecinają się w takim punkcie $P$, że $$ |AP|^2+|BP|^2-|AB|^2= \frac{2\sqrt{5}}{3}|AP||BP|.$$ O ile dłuższy jest promień okręgu opisanego na trójkącie $ABP$ od promienia okręgu opisanego na trójkącie $PCD$, jeżeli $|AB|-|CD|=4$?

  4. Na okręgu $x^2+y^2-2x-2y!=!0,$ opisany jest trapez prostokątny $ABCD$ o polu $12$. Wyznacz współrzędne wierzchołków trapezu, wiedząc, że większa z jego podstaw $AB$ jest zawarta jest w prostej $x!+!y!=!0,$ a kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty.

  5. W trójkącie równoramiennym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $20^{\circ}$. Z wierzchołków $A$ i $B$ poprowadzono półproste pod kątami $50^{\circ}$ i $60^{\circ}$ względem podstawy, przecinające ramiona $AC$ i $BC$ w punktach $D$ i $E$ odpowiednio. Wyznacz miarę kąta $BDE$.

    Wskazówka: Poprowadź półprostą z punktu $A$ przecinającą odcinek $BD$ w punkcie $G$, a bok $BC$ w takim punkcie $F$, że $\angle{BAF}=60^{\circ}$ i przyjrzyj się czworokątowi $DGEF$.

  6. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy. Wyznacz cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa oraz stosunek promienia kuli opisanej na ostrosłupie do promienia kuli wpisanej w ostrosłup.