Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 5 — styczeń 2023 r.

Poziom podstawowy

1. Rozwiąż nierówność $$\frac{\sqrt{30+x-x^2}}{x} < \frac{\sqrt{10}}{5}.$$

2. Z ilu domin składa się komplet klocków do gry w domino, zawierający po jednym dominie dla każdej kombinacji oczek od $0$ do $6$? A jaka jest odpowiedź dla kombinacji oczek od $0$ do $n$?

3. W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór $A\cap B$, jeżeli: $$A=\left\lbrace (x,y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, y=x+b, b\in\left[ -2, 2\right]\right\rbrace,$$ $$B=\left\lbrace (x,y): x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}, y=ax, a\in\left[ -3, -\frac{1}{3}\right]\right\rbrace.$$ Zbadaj, czy punkt $\left(1, -\frac{1}{2}\right)$ należy do zbioru $A\cap B$.

4. Spośród trapezów równoramiennych o danym obwodzie $p$ i danym kącie $\alpha$ przy podstawie wyznacz trapez o największym polu.

5. Dane są trzy kolejne wierzchołki prostokąta $ABCD$: $A(-5,-3), B(-2,0), C(-7,5)$. Napisz równanie okręgu opisanego na tym prostokącie oraz równanie prostej stycznej do tego okręgu w punkcie $D$.

6. Kwadrat $ABCD$ jest podstawą prostopadłościanu $ABCDEFGH$. Środek $M$ krawędzi $AB$ łączymy z wierzchołkiem $G$ otrzymując odcinek długości $d$ nachylony do ściany $DCGH$ pod kątem $\alpha$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.

Poziom rozszerzony

1. Para $(x,y)$ jest rozwiązaniem układu: $$ \begin{cases} \begin{array}{rcl} x-y & = &-1-m,\cr 2x-y & = & 2m. \end{array} \end{cases} $$ Dla jakich wartości $m$ punkt $P(x,y)$ należy do wnętrza koła o promieniu długości $r=\sqrt{5}$ i środku w początku układu współrzędnych?

2. Na ile sposobów można ustawić 5 książek na trzech półkach, jeśli ważna jest kolejność ustawienia książek oraz to, na której półce stoją?

3. Wyznacz zbiór środków wszystkich cięciw okręgu o równaniu $x^2+y^2=16$, które przechodzą przez punkt $(0,4)$. Wykonaj staranny rysunek.

4. Wykres funkcji $f(x) = x^3-3x^2+bx+c$ przechodzi przez punkt $A(2,5)$. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcju w punkcie $A$ jest rozwiązaniem równania $$\left(\frac{4}{9}\right)^{x+1} = \left(\frac{81}{16}\right)^{x+13}.$$ Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale $\left[ -2,2\right]$.

5. Obwód trójkąta równoramiennego jest równy $a$. Przy jakich długościach boków pole trójkąta jest największe? Podaj największą wartość pola trójkąta dla $a= 3+2\sqrt{3}$.

6. W kole o środku $O$ poprowadzono dwie prostopadłe średnice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ oraz cięciwę $\overline{AM}$ przecinającą średnicę $\overline{CD}$ w punkcie $K$. Dla jakiego kąta między średnicą $\overline{AB}$ a cięciwą $\overline{AM}$ w czworokąt $OBMK$ można wpisać okrąg?