Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 6 — luty 2023 r.

Poziom podstawowy

1. Na ile różnych sposobów może się ustawić do zdjęcia sześcioosobowa rodzina, jeżeli wszyscy mają stać w jednym rzędzie, a najmłodsza córka musi stać obok mamy?

2. Jeżeli w dwóch rzutach sześcienną kostką do gry gracz otrzyma sumę oczek wynoszącą przynajmniej 10, to wygrywa 100 zł., a jeżeli otrzyma mniej niż 10 i więcej niż 6, to wygrywa 50 zł. W pozostałych przypadkach przegrywa i musi zapłacić $80$zł. Wyznacz wartość oczekiwaną wygranej gracza w tej grze. Jak organizator takiej gry powinien zmienić opłatę za przegraną żeby mógł liczyć na zarobek po wzięciu w niej udziału przez wielu graczy?

3. Uzasadnij, że dla każdego $n$ naturalnego liczba $2n^3+3n^2+n$ jest podzielna przez 6.

4. Oblicz piąty wyraz ciągu arytmetycznego $$ \log_2 x_1, \log_2 x_2, \log_2 x_3,... $$ wiedząc, że $x_1+x_2+x_3 = \frac{7}{4}$ oraz $x_2=\frac{1}{2}.$

5. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 8 rzutach monetą pojawi się seria przynajmniej 5 reszek lub 5 orłów pod rząd.

6. Losujemy jedną liczbę spośród liczb $1,2,...,2023.$ Znajdź prawdopodobieństwo, że

   a) wybrana liczba będzie podzielna przez 5 i przez 11,

   b) wybrana liczba będzie podzielna przez 5 lub przez 11.

Poziom rozszerzony

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sześciu rzutach standardową kostką do gry wypadną wszystkie możliwe liczby oczek?

2. Dla jakich wartości parametru $p$ równanie $$ x^2 -(2^p-1)x-3(4^{p-1}-2^{p-2})=0 $$ ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków?

3. Z pierwszej urny zawierającej $n$ kul białych i cztery czarne losujemy dwie kule i wrzucamy je do drugiej urny, początkowo pustej. Z tej drugiej losujemy wtedy jedną kulę.

   a) Dla jakich wartości $n$ prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli z drugiej urny jest większe od $3/4$?

   b) Przyjmując $n=6$ oblicz prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny wylosowano dwie białe kule, jeśli wiadomo, że z drugiej urny wylosowano białą kulę.

4. W urnie jest 15 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 15. Wyciągamy z niej kolejno pięć kul bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że numer na drugiej kuli jest liczbą podzielną przez trzy i jednocześnie numer na piątej kuli jest liczbą podzielną przez pięć.

5. Znajdź dziedzinę oraz wartości największą i najmniejszą (jeśli istnieją) funkcji $$ f(x) = \frac{2-x^2}{x^2} + (2-x^2)+(2x^2-x^4)+..., $$ która jest sumą szeregu geometrycznego.

6. W urnie jest 99 kul białych i jedna czarna. Agnieszka i Jacek losują z tej urny na przemian po jednej kuli bez zwracania. Wygrywa ten, kto wylosuje czarną kulę. Pierwszą kulę wyciąga Agnieszka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to ona wygra?