Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 7 — marzec 2023 r.

Poziom podstawowy

1. Wielomian $W(x)=x^3-(k+m)x^2-(k-m)x+3$ jest podzielny przez dwumian $(x-1)$, a suma jego współczynników przy parzystych potęgach zmiennej $x$ jest równa sumie współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej. Rozwiąż nierówność $$W(x)\leq x^2-1.$$

2. Rozwiąż algebraicznie układ równań \begin{cases} \begin{array}{rcl} |y|=2-x^2,\cr x^2+y^2=2. \end{array} \end{cases} a następnie podaj jego interpretację geometryczną.

3. W przedziale $[0,2\pi]$ określ liczbę rozwiązań równania $$\,\cos{x}\cdot\ctg{x}-\sin{x}=a\,\cos{2x},\,$$ w zależności od parametru $a$.

4. Niech $P(k)$ oznacza pole trójkąta ograniczonego prostą $y=kx$ i wykresem funkcji $$f(x)=4-2|x|.\;$$ Wyznacz najmniejszą wartość $P(k).$

5. Punkty $A(0,0)$ i $B(4,3)$ są wierzchołkami rombu o kącie ostrym $45^{\circ}$, który zawarty jest w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne jego wierzchołków. Podaj równanie okręgu wpisanego w ten romb. Ile jest wszystkich rombów o boku $AB$ i kącie ostrym $45^{\circ}$? Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót rombu wokół jego boku.

6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym środek podstawy jest odległy o $d$ od krawędzi bocznej a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa jest równy $2\alpha$. Oblicz objętość ostrosłupa.

Poziom rozszerzony

1. Dla jakiego parametru $m$ równanie $$\,mx^3-(2m+1)x^2+(2-3m)x+3=0\,$$ ma trzy różne pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?

2. Rozwiąż równanie $$\frac{1+\tg{x}+\tg^2{x}+\tg^3{x}+\ldots+\tg^n{x}+\ldots}{1-\tg{x}+\tg^2{x}-\tg^3{x}+\ldots+(-1)^n\tg^n{x}+\ldots}=1+\sin{2x}.$$

3. Narysuj w prostokątnym układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających warunek $$\log_{(x-y)}{(x+y)}\leq 1.$$

4. Podaj równanie prostej $l$ stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\frac{3x-2}{(x-1)^2}\,$ w punkcie jego przecięcia z osią $Oy$ i wyznacz równania wszystkich stycznych do wykresu równoległych do $l$. Oblicz odległość między otrzymanymi prostymi. Sporządź staranny wykres funkcji wraz z otrzymanymi stycznymi.

5. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$. Wyznacz kąt między ścianami bocznymi.

6. Odcinek o końcach $A(0,0)$ i $B(8,6)$ jest dłuższą podstawą trapezu prostokątnego opisanego na okręgu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że bok $CD$ jest dwa razy krótszy od boku $AB$. Podaj równanie okręgu wpisanego w ten trapez. Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót trapezu wokół ramienia $BC$.