Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 1 — wrzesień 2023 r.

Poziom podstawowy

1. W pierwszym tygodniu sezonu truskawkowego Pan Kowalski osiągnął z ich sprzedaży pewien przychód $A$. W dwu kolejnych tygodniach podaż owoców gwałtownie rosła i ceny spadały o $10\%$ z tygodnia na tydzień. W czwartym tygodniu truskawek było na rynku dużo mniej. O ile procent (w stosunku do ceny w trzecim tygodniu) powinien Pan Kowalski podnieść cenę owoców, by w tym miesiącu (4 tygodnie) uzyskać zaplanowany przychód $4A$? Zakładamy, że w każdym tygodniu Pan Kowalski sprzedawał tę samą ilość owoców.

2. Dla jakiej wartości parametru $p$ liczby $$a=\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt{\frac{p}{3}}\cdot\sqrt[3]{-\frac{27}{16}} \mbox{ oraz } b=\log_{\frac{1}{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^p}\,$$ są sinusem i cosinusem pewnego kąta? W której ćwiartce jest ten kąt?

3. Rozwiąż nierówność $\sqrt{4x^2+4x+1}<1-x.$ Podaj jej ilustrację graficzną, rysując staranne wykresy funkcji znajdujących się po obu stronach nierówności.

4. Wiedząc, że liczba $2$ jest podwójnym pierwiastkiem równania $\,x^3-mx^2+8x+n=0,\,$ rozwiąż nierówność $$x^3-mx^2+8x+n\leq 36.$$

5. Dla jakich wartości parametru $p$ nierówność $\,(p^2-4)x^2+2(p+2)x<2\,$ jest spełniona dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$?

6. Dane są zbiory $$A=\left\lbrace(x,y):\: |x| - 2\leq |y|\leq |x| + 2 \right\rbrace \mbox{ i } B= \left\lbrace(x,y):\: |x|+|y|\leq 4 \right\rbrace .$$ Oblicz pole zbioru $A\cap B$. Wykonaj staranny rysunek.

Poziom rozszerzony

1. Wyznacz największą liczbę naturalną, przez którą należy podzielić liczby 353, 489 i 761, by w każdym przypadku reszta z dzielenia była równa 13.

2. Rozwiąż nierówność $$\,||x-2|-2|\leq|x-1|.\;$$ Narysuj zbiór $$\left\lbrace(x,y):\,|x-1|\leq y\leq||x-2|-2|\right\rbrace$$ i oblicz jego pole.

3. W hurtowni znajduje się towar, którego $a\,\%$ sprzedano z zyskiem $p\,\%$, a $b\,\%$ pozostałej części sprzedano z zyskiem $q\,\%$. Z jakim zyskiem należy sprzedać resztę towaru, by całkowity zysk wyniósł $r\,\%$?

4. Narysuj wykres funkcji $$ f(x)=3^{\log_{\sqrt{3}}{|x|}}-\frac{\sqrt{8}\log_2{\sqrt{27}}\cdot\log_3{2}}{3}\cdot\sqrt{\log_3{\left(\sqrt{3}\right)^{x^2}}}+\frac{1}{3}\log_{\sqrt{2}}{\frac{1}{8}}.\,$$ Określ liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od parametru $m$.

5. Resztą z dzielenia wielomianu $$w(x)=x^4+p x^3- 3 x^2+qx - 14$$ przez $x^2-x-2$ jest $4x-28.\;$ Wyznacz współczynniki $p,q$ i rozwiąż nierówność $$w(x)\geq x^2-5x-14$$.

6. Narysuj zbiory $$ A=\left\lbrace (x,y): x^2+y^2\leq 16\right\rbrace B=\left\lbrace (x,y): x^2+y^2<4\sqrt{2}|x|,\;x^2+y^2<4\sqrt{2}|y|\right\rbrace$$ i oblicz pole zbioru $ A\setminus B.$