Korespondencyjny
Kurs z Matematyki

PRACA KONTROLNA nr 2 — październik 2023 r.

Poziom podstawowy

1. Uzasadnij, że wyrażenie $$\left ( 4\log_32-\log_{\sqrt{3}}12\right )-\left ( 2\log_{\frac12}27+6\log_26\right )$$ jest liczbą całkowitą.

2. Rozwiąż równanie $$[ \sin{3x} \sin{2x} = \sin{x} \cos{x}, ]$$ w przedziale $[0,2\pi]$.

3. Liczby $$ 1+2\log_36,\quad 2+\log_36\quad\mbox{oraz}\quad 3+3\log_32 $$ ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą trzy początkowe wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego. Podaj wartość czwartego wyrazu tego ciągu. Uwzględnij wszystkie możliwości.

4. Wykres funkcji $f(x)=a-3^{x+b}$ dla pewnych $a,b\in \mathbb{R}$ przechodzi przez punkty $A(1,1)$ oraz $B(2,-1)$. Narysuj wykres funkcji $g(x)=f(-x)$ oraz opisz słownie metodę jego konstrukcji. Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $g$ przyjmuje wartości nieujemne.

5. Rozwiąż nierówność $$ 2^{x^3+2}\cdot 9^{x^2-1}\leq 4^{x^2+\frac12x}\cdot 3^{x^3-x}. $$

6. Wyznacz wszystkie wartości rzeczywistego parametru $m$, dla których funkcja $$ f(x)=m-\left (\frac{2-m^2}{2m-3}\right )^{x+2m} $$ jest rosnąca.

Poziom rozszerzony

1. Niech $m=\log 5$. Wykaż, że $$ \log_5\sqrt[4]{16^m}=1-m. $$

2. Rozwiąż nierówność $$ 8^x-3\cdot 4^x-6\cdot 2^x+8 \geq 0. $$

3. Narysuj starannie wykres funkcji $ f(x)= 4 \cos^2{x}-2-\sqrt{2}$ i wyznacz zbiór tych liczb, dla których funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne.

4. Rozwiąż równanie $$ \frac1{1-x}+\left (\frac1{1-x}\right )^2+\left (\frac1{1-x}\right )^3+\ldots=\frac{2x}{x^2-3}, $$ którego lewa strona jest skończoną sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

5. Niech będzie dany ciąg $(a_n)$ o wyrazie ogólnym $$ a_n=\left (\frac{\log_3m}{1-\log_3m}\right )^{2n-1},\quad n\in \mathbb{N}. $$ Uzasadnij, że dla każdego $m\neq3$ ciąg $(a_n)$ jest geometryczny. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona. Wartość sumy podaj w najprostszej postaci.

6. Liczby $$ 2^m,\quad 2^{m-1}\quad\mbox{oraz}\quad 2^m-\frac3{16} $$ ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą trzy początkowe wyrazy malejącego nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz wszystkie możliwe wartości $m\in \mathbb{R}$ oraz odpowiadające im ilorazy ciągów. Oblicz sumę wszystkich wyrazów dla każdego z otrzymanych ciągów.